Cû

iisidérons maintenant le cas où l'(

etoù, par conséquent, l'équation (2) ne peut plus se ramener à

la forme { 3) par la transformation dont nous avons fait usage.

Soient d'abord p= o el tj :^ — i , l'équation ( 2) devient

les valeurs de x sont alors les racines cubiques de l'unité; pour les trouver, remarquons^ que x^ — i est le produit des facteurs x — i et ,r' + x + i ; en sorte que l'unité a trois racines cubiques dont l'une est égale à 1 , et dont les deux autres

X et sont les racines de l'équation du second degré

cn outre, comme on a tque

lOnelut q

en sorte que cliacune des deux racines cubiques imaginaires de l'unité est le carré de l'autre.

Revenons maintenant au cas général, et distinguons les deux hypothèses p <^ o et p )> o ,

I " Soit yE> <^ o ; posons

a: ^ î, (il taiigç + b coti])),

en désignant par aelh deux quantités respectivement égales aux racines cubiques imaginaires a et ê de l'miité ou égales toutes deux à l'unité; en élevant au cube, il vient

x" =. i^tang^o -t- cot'tp + 3 (<! tangtp + b cot^)], et l'on déduit des deux équations précédentes

(5) x^ — 31^a^ — l'(tang'^ -i-cot'<p) .-=: o.

D'après la manière dont celte équation (5) est formée, il est évident que ses trois racines sont

(6) l(lang^-l- cotiji), l(atang^^- Ëcot^), X(@ tangç + acottf),

et par conséquent l'équation (a) se trouvera résolue si l'on parvient à l'identifier avec l'équation { 5 ) . 11 suffit pour cela de déterminer X et tf de manière que l'on ait

— 31' =/), — P(tang'y -\- cot'ï) ~q; la première de ces équations donne