CHAPITRE TROISIÈME

d'où, en divisant membre à membre,

Rkma«qtie. — ^ 11 ne saurait exister entre les angles et les côtés d'un triangle rectangle une relation distincte des troix suivantes :

8 + = 90», ci^^sinC, Ê=:acosC;

car s'il j en avait une, en y remplaçant c, è et B par leurs valeurs a sinC, iïcosC et 90" — C, on aurait une équation non identique entre a et C, ce qui est absurde.

En ajoutant les deux dernières des relations précédentes, après les avoir élevées au carré, on obtient la relation coii-

Relaiîons entre les angles et les côtés d'un triangle ohliquangle.

68. Théorème I. — Dans tout triangle rectiligne, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

Soit ABC (fig- 10 ) un triangle dans lequel les angles B et C sont aigus ; abaissons du sommet A la perpendiculaire AD sur

Fie- lû.

la base BC : le point D tombera entre les points B et C, et les triangles rectangles ABD et ACD donneront (n^ÔT) AD = esinB, AD = 6sinC,

: TlilGONOSlÉTillE.

Si l'un des angles B ou C est obtus [fig- 1 1), C par exemple, le pied de la perpendiculaire AD tombe sur le prolongement

de BC, et comme deux angles supplémentaires ont le mètn;

sinus, les triangles rectangles ABC et ACD donnent encore

AD = csiiiB=6 sinC,

i l'on conclut que la formule pr

:cdente est générale.

69. On a, d'après ce qui précède, les trois relations s vantes entre les angles et les côtés d'un triangle :

et je dis qu'il ne salirait exister une autre relation distincte de

celles-ci. En effet, on tire des équations {i) A =

nC

siii(B-(-C)' si,i(B + C)'

cela posé, s'il existait entre les angles et les côtés une relation distincte des relations (i), en y mettant, au lieu de A, 5, c, les valeurs que nous venons d'écrire, on aurait une équation non identique entre le côté a et les deux angles adjacents B et C, ce qui est absurde.

Mais on peut déduire des équations (i) d'autres relations importantes qui constituent autant de théorèmes ; nous commencerons par démontrer directement ces théorèmes, et nous