E TROISIEME
Multipliant haut et bas par bc, il vient
77. Bayoïïs des cercles iKscBiT ET EXiNSCRiTS. — Soîtrle rayon du cercle inscrit; en joignant le centre de ce cercle aux trois sommets, on décompose le triangle en trois autres ayant pour hauteur commune r, et pour bases les trois côtés a, b, c
respectivement ; on a donc s = r j ou
Si l'on désigne par «, ê, y les rayons des cercles exinserits au triangle, c'est-à-dire des cercles qui touclient respectivement les côtés o, 5, c et les prolongements des deux autres, il est aisé de voir que l'on a
d'où l'on tire
On peut aussi écrire (n" 74)
a -~- p tang- A, ê^ptang-B, y =:/ilang-G.
De ces formules on peut en déduire plusieurs autres, parmi lesquelles on doit remarquer les suivantes :
yGoosle
o6 TRàTIÉ BE TRiGONOJlÉTRli;.
Mésolution des Iriangtes rectangles,
78. Pkemler CA.S. — Etant donnés l'hypoténuse a et ai \ngle aigu. B, calcule/- l'angle C et les deux côtés h et c. Les éléments mconiius se détennineront par les formules
C = 90"— B, 6 = «smB, c=â;cosB.
La première fait connaître immédiatement C, et autres donnent pour le calcul logarithmique
logé :^logc -h logsinB, loge ::= loga -\- îogcosl
79. Deuxième cas. — Etant, donnés l'hypoténmc côté b de l'angle droit, calculer le ti'Oi deux angles B ei C.
On a, pour déterminer les élcm.cnts i]
La détermination directe de l'angle C s'obtient, comme on voit, par un cosinus, et ainsi elle ne sera point susceptible d'exactitude, si l'hypoténuse du triangle diitère peu de son côté, comme cela arrive fréquemment. Dans ce cas, on peut commencer par calculer c, et l'on obtiendra ensuite C par la Ibrmule
on aura aiasi, pour le calcul logarithmique,
!os^=^riog(« + 6) + log(«-è)], logtaiigC = iogc — Iog6.
On peut aussi calculer C directement comme il suit. En remplaçant cosC par sa valeur - dans les formules
taitg-
rSUPlTRE TROISIÈME.
ja— b
tang
l'une quelconque de ces formules donnera l'angle C avec précision, mais la seconde est préférable, parce qiie son emploi n exige que les logarithmes qui servent pour le calcul de c.
80. Troisième cas. — Etant donnés l'un des côtés b de l'angle droit et l'un des angles aigus, calculer le second angle et les deux autres côtés.
Les éléments inconnus se détermineront par les formules
B -;- C =.- qo", ii -. - - — , c=;'COtB; ^ siiiB
les deux dernières donnent pour le calcul logarithmique
laga = log^ — logsiuB,
iDgc =^ log b -^- log colB.
81 . Quatrième cas. — Étant donnés les deux côtés h et c de l'angle droit, calculer l'hypoténuse a et les deux angles aigus B et C.
On a, pour déterminer les éléments
b cote = tangB := -i a' =
Cette dernière formule n'est pas calculable par logaritlimes : on la rendrait telle en faisant usage d'un angle auxiliaire; mais cette manière d'opérer revient à calculer d'abord B par la formule
]ogtiingB = log6 — loge,
et à déterminer
lar la formisle l(igû = )ogÔ — logsi
Exemple. — On donne
a — 58152'", 5 1 , 6 -- 5439™, a4, i demande de calculer c, 13 et C.
Calcul du. côté r.
los("-i-6) 4,o54'i97o
log(a É) 3,6563570
loge 3,3553^70
c = aa66"',35
Calcul de l'angle C.
— log(« + (i] 5,9457030
Iog(o — fc) 3,6563570
â,6oao6oo
loglang-JC Y,3oio3oû
■iC = ii°i8'35'',76 C = a2°37'ii",52
Jîésoliition d'un triangle rectiligne dans leijuel on connaît un côté et deux angles.
