L'angle inconnu s'obtiendra immédiatement par la formule
AH-B -fC = ï8o°.
Si a est le côté donné, on calculera ensuite les côtés 6 et c par les formules
astnE ttsinC
S'i. Exemple. -— On donne A = 8j"47'i2'',5, B=38''i2'47",5, Ct=6o", o— 7oi2"',24, et l'on demande de calculer les côtés h et c, ainsi que la surface s du. triangle.
Calcul du côté b.
!oga.. 3,8453568
— iogainA o, 0044774
logsinB ï, 7914014
logé 3,64i736li
Calcul dit côté c.
— logsinA o,ûo44774
logBinC 7,9375306
loge ;
CnAPIlRE rKOISIÈME.
Cakul lie la surface s.
alogrt 7,6917136
logsinB 1,7914024
logsittC 7,9375306
— logsinA 0,0044774
— loga 7,6989700
logi 7,i'ii09io
Résolution d'un triangle rectiligne dans lequel oji connaît, deitx côtés avec l'angle opposé à l'un d'eux.
8S. Si a, £ et A sont les éléments donnés, on déterminera successivement les éléments inconnus par les formules
. ètîinA „^ <ïsinC
Lorsque B diffère peu de 90 degrés, cet angle ne peut être déterminé avec exactitude par le moyen de sod sinus ; dans ce cas on calcule d'abord le produit èsJnA et l'on obtient ensuite l'angle B par la formule
langB = zt , 5
on peut aussi faire usage de la formule
que l'on obtient en remplaçant sinBpar sa valeur dans l'équation tang US" -h ^ Bj = ± y l -^lînE "
Cependant ces dernières formules ne peuvent faire connaître B avec précision, lorsque cet angle diffère très-peu de 90 degrés et que les données, comme il arrive le plus souvent, ne sont pas rigoureusement exactes. Dans ce cas, en effet, une légère
IIO THAIIÉ IIE TRIGONOMÉTRIE.
erreur dans les éléments donnés peut occasionner une erreur considérable dans l'angle B. ( Foi?; Cliapître VI, les Formules trigonométriques différentielles.)
Rem&hqïeI. — Si l'on a (i>"èsînA, et seulement dans ce cas, les Tables feront connaître pour B une valeur M <^ go", mais on pourra prendre aussi B = 180" — M; on aura deux valeurs correspondantes de C,
C =--180"— A — BI, C = M — à,
et, par suite, aussi deux valeurs correspondantes de c.
Pour que Tangle M réponde à la question, il faut et il suffit queA + M soIt<^ 180 degrés; pareillement,pouTquei8o°— M y réponde, il faut et il suffit que M soit > A, Examinons dans quel cas ces conditions peuvent être remplies.
i" Si l'on a A=; ou^go degrés, la valeur 180" — M de B ne peut convenir, et la condition pour que la valeiir M donne une solution du problème est
M<i8o"— A, ou, comme les deux membres sont moindres que go degrés,
siriM<si!i(i8o" — A) ou <5mA, c'est-à-dire
On voit que le problèm.o ne peut avoir qu'une solution, et la condition pour qu'il en admette une est que le côté opposé à l'angle donné soit le plus grand dos deux côtés donnés.
2'* Si l'on a A <^ 90°, la valeur M de B convient toujours ; mais, pour que l'on puisse prendre aussi B ^^ 1 80" — M, il faut que l'on ait
les deux membres sont inférieurs à 90 degrés,
sitiM>.sinA,
On voit que, dans ce cas, la condition de possibilité est i^|>-^sinA; si cette condition est remplie, le problème admet une ou deux solutions, suivant que le côté opposé à l'angle donné est plus grand ou plus petit que l'autre côté donné.
Les résultats qui précèdent sont conformes à ceux iju'on déduit de considérations géométriqnes que nous croyons inutile de rappeler ici.
Remarque II. — - Dans la solution précédente, on ne calcule !e côté c qu'après avoir obtenu les angles B et C; or il se peut que, n'ayant pas besoin des angles B et C, on veuille calculer directement le côté c. Pour cela, on peut se servir de la for-
flSz=Sî^-c'-. aiccosA, d'où l'on tire
€ = b cosA rfc \ll^-^~bQïï^M
mais, pour rendre cette formule calculable par logarithmes, il faut employer un angle auxiliaire, conformément à la méthode du n" S8, et alors les calculs qu'on doit exécuter sont tout aussi longs que ceux auxquels conduit l'application de la première méthode. Il y a môme pins : le moyen qui s'offre le plus naturellement pour rendre l'expression de c calculable par logarithmes consiste à poser (n" S8)
car la valeur de c devient alors
«sini])CosA| asin(fflrhA)
"^ "^ sin ~ "™*^ ~ sin '
et l'on voit que l'angle auxiliaire ç,dont on s'est servi, est précisément l'angle 13 du triangle. Il n'y a donc pas lieu de modifier la solution que nous avons donnée.
