CHAPITRE TROISIÈME

On déduit facilement des formules précédemment données

on calculera p~a, p — h, p — c par ces formules, et l'on en déduira ensuite les côLés a, b, c.

96. Problème Yl. — liésoudro un triangle connaissant l'angle C et les sommes c ~h a, c -h b obtenues en ajoutant le côté opposé c à chacun des deux autres côtés.

Nous supposerons c + M^c-i-&. Les formules (i) du n" 73 donnent

osi(A — ]ï)H-2s!niC

oni(A-B) (

aillée ' mi(A~B)

d'où

()sf{A — B) + 2siii|C

Cette formule (2) ne renferme que la seule inconnue

-(A — B), et l'on pourra la déterminer par le procédé du

n" 60, en calculant un angle auxiliaire y compris entre zéro et 90 degrés, au moyen de la formule

(3) «,»r, = fc±i^j.;i-+-'-j "■;'=■

Or, si l'on considère le triangle formé par les côtés c ^- û, c-\~b e\. l'angle compris C, que l'on désigne par A' l'angle opposé au côté c -î- o, dans ce triangle, et par B' l'angle qui est

opposé au côté c-h è,la demi-différence ~ ( A' — B') sera précisément égale à l'angle auxiliaire ç, d'après la formule (2) du n" 73: on aura donc

yGoosle

lao TRAITÉ !1Ë TBIGONOMÉTIilE.

d'où

Cela posé, l'équation (2) peut s'écrire comme il suit :

sini(A^-P) ^si»i(A'^-BO,

si l'on cliasse les dénominateurs, on trouvera simpleinciîl

(5) sin^ = 3,s;niCsiR^(A'-B'},

en posant, pour abroger,

on a d'ailleurs

et l'on conclut des deux équations précédentes

On calculera l'angle jc par la formule (5), après quoi les formules (6) donneront A etB, puisque A' et Ksont connus.

Pour calcider c, on fera usage de la deuxième équation { i ) , qui donne

[( . + .)-(.-,-^)]co.lC l" ■- ,i„(, + x)

et 1 on aura enfin a et Ô par les formules

Le triangle auxiliaire dont nous avons fait usage est toujours possible, quelles que soient les données c -f- «, c-hb, C ; il en résulte que l'équation (5) donnera toujours des valeurs réelles de œ-^ car on peut la mettre sous la forme

(9) sin,r — sinA'— sinB',

et l'on voit que son second membre est compris entre zéro et i . Cette équation a une racine x comprise entre zéro et 90 degrés ;

c'est la seule racine qui puisse convenir à iioLre problème, car B' étant un angle aigu, à cause de A'^B', la valeur de B fournie par la deuxième équation (6) ne peut être positive que si x est inférieur à 90 degrés. Mais on voit de plus que le problème proposé n'est possible que si la valeur de x comprise entre zéro et 90 degrés est inférieure à B', condition que nous pouvons exprimer par l'inégalité sin:c <; sinB', ou, à cause de l'équation. (9), par

sinA'<23inB', et cette dernière inégalité équivaut elle-même à la suivante :

Telle est la condition nécessaire pour que le problème soit possible; je dis d' ailleurs qu'elle est suffisante. En efiet, siello est satisfaite, les valeurs de A et de B seront positives; de plus, leur somme sera inférieure à 180 degrés; la valeur de c tirée de l'équation [y) sera elle-même positive, et il est évident que ces valeurs rendront les équations (i) identiques. Cela posé, supposons que l'on demande de résoudre un triangle avec les éléments A, B, c que nous venons de calculer; ce problème est toujours possible, et, pour le résoudre, on peut évidemment faire usage des équations (i), desquelles on tirera nécessairement les valeurs données c + rt, c 4- â.

Remauqoe. — Si l'on a c -\- a = c + h^les angles tf et .r se réduisent à zéro; on a A = B = A'^ B'. Dans ce cas, la formule ( 7) ne peut plus servir pour le calcul de c ; il faut alors recourir à la première des équations (i), qui donue

d'où

■o — a sin^C— -;-tang(|C — tS")

■a donné par cette formule ; on en déduira ensuite a

TKAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

Du quadrilatère inscriptible.

97. Nous croyons devoir encore indiquer ici coininenl on peut calculer les angles, l'aire et les diagonales d'un quadrilatère inscriptible, quand on connaît les quatre côtés.

Soit ABGD {Jig. 19) un quadrilatère inscrit, dont nous re-r

présenterons les côtés AB,BC, CD, DApar«, i, c, rf, les diagonales AC et BD par x et y, l'aire par j, le rayon du cercle circonscrit par R, et les angles par les lettres qui marquent leurs sommets.

Les angles B et D étant supplémentaires, leurs cosinus sont égaux et de signes contraires ; on a, par les triangles ABC et ÂCD,

i ,r' —= a' -'.- fi' — 2 n& cosB, '^' (a:= = c' -hrf=-t-ac,/cosB,

et l'on tire de ces équations, en éliminant ic.

Celte formule n'est pas calculable par logarithmes, mais on peut en déduire une qui le soit. On a

. I 1 — cosB I i-hcosB sin'-B = , (;oa'-B= — ;

1 remplaçant cosB par sa valeur, il vient ,i ic-^dY — {a~by (-a-^-b-^c-\~d)(a~h^-,:+d )

" 2 ^{ah-^cd) ~ 4{ab-i-cd) ''

i-bY- (c -df {a + b~c-\-d){a + b-^c-d) /^[ab + cd]

yGoosle

CUÀPITRE TEOISIÈHE.

Désignons par ip le périmètre « + & ^- c -i- <?) on aura t H- è + c — d = 2{p — d),. , . et, par suite,

En divisant ces formules (3) l'une par l'autre, ou oLtient la

qui est calculable par logarithmes. On aura de même, pour calculer l'angle A,

Les angles du quadrilatère étant connus, on aura les diagonales par l'une des méthodes du n° 87. Quant à la surface j, elle est la somme des surfaces des triangles ABC et ADC ; on a donc (n" 75)

,ï= -{ah-\-cd)smB;

on a d'ailleurs, en multipliant les équations (3) l'une par

^/{j> -a){p-/>)(p-.cj{f-d)

Si l'on suppose que le côté d se réduit à zéro, cette formule donne celle qui exprime l'aire du triangle en fonction des trois côtés.

Si l'on veut calculer directement les diagonales x etjj'-, on portera dans l'une des équations (t) la valeur de cosB tirée de l'équation {2) ; il vient alors

cd(a^-hb^)-r^^b{c

ah -1- cd

{ac + M) [ad 4

-fc).

ab + cd

TBAITfi DR TRIGONOHÉTlllB.

t de même

[ ac+ld)(a b^cd)

ad-\

mais Cfis formules {7) et (8) ne sont pas calculables par logarithmes.

En multipliant et en divisant les équations (7) et (8) l'une par l'autre, on a

, , ^ , .x ad+ bc

(s) xj = „.+ K - = ;;j^p^.

formules qui expriment deux théorèmes connus de Géométrie. On peut enfin exprimer le rayon E. du cercle circonscrit en fonction des quatre côtés. On a, en effet (n" 76),

\j (/ic ■+- bd ){ab -i-"cd) (ad + bc) ^' ^^UiP-'^ ){P^Ï){P - c) (/. -ri) *

Opérations sur le terrain.

98. TniAKGtiLATioK. — Lorsqu'on veut exécuter avec quelque précision le plan d'un terrain, d'une ville, etc., il est indispensable d'appuyer le lewé sur une triangulation calculée. On nomme ainsi l'opération par laquelle on détermine les valeurs de tous les éléments d'une suite ou d'un réseau de triangles juxtaposés et rattachant les uns aux autres des points choisis à volonté sur le terrain. Toutefois, lorsque le terrain n'est pas parfaitement liorizontal, ce qui est le cas le plus ordinaire, il faut imaginer que le i-éseau soit projeté sur un plan horizontal situé au-dessous ; ce sont les éléments de cette projection, ou, comme l'on dit, du réseau réduit à l'horizon, qu'il est important de connaître et que l'on détermine.

Tous les angles des triangles sont mesurés par le moyen d'un instrument, le graphomètre, ou mieux le théodolite, qui donne les angles tout réduits à l'horizon. Mais une seule ligne est mesurée directement à l'aide de la chaîne d'arpen-

CHiPlTRE TROlSltllE. 135

teur ou d'un appareil de règles; on la nomme la base. Les

autres eôLés des triangles sont déterminés par le calcul.

Il est très-important de choisir avec discernement les points qui doivent former le réseau trigon orné tri que, afin de n'avoir que des triangles avantageux, c'est-à-dire des triangles dont aucun angle ne soit trop aigu. Il est aisé de voir, en effet, qu'un point est mal déterminé quand il est donné par l'intersection de deux droites faisant entre elles un très-petit angle, en ce sens que la plus légère erreur sur la valeur de l'angle peut produire une erreur considérable relativement à la situation du point. Voici la marche généralement adoptée pour tria n gui er.

Après avoir étudié le terrain qu'on se propose de lever, on choisit un point central O [fig- 20) qui puisse être aperçu de

loin, comme la pointe d'un clocher, ou un signal placé sur un bâtiment élevé, ou même un simple jalon muni d'un signal, si le terrain est découvert. On choisit ensuite, en deçà des limites du levé, cinq ou six points ou plus, A,B,C, D,E, F, desquels on puisse voir le point 0, et tels, que les triangles ABO, BGO,... soient avantageux. Il importe aussi que l'un des côtés du polygone ABCDEF, AB par exemple, puisse être mesuré directement et pris pour la base. »

Le côté AB du polygone étant connu et les sommets ayant été marqués à raided'unepercheoud'unsignalquelconque, on stationne successivement en chacun de ces sommets. Au point A on mesure les angles OAF et 0A15, au point B les angles OBA et OBC, . . . , enfin au dernier sommet F les angles OFE et OFA. De ces mesures on conclut facilement chacun des angles en 0, qu'il est alors inutile de mesurer directement, pourvu que les angles observés aient été déterminés avec une

exactitude suffisante. On s'assurera de cette exactitude en addîtîounaut tous les angles observés et en comparant la somme avec celle des angles du polygone qui est connue d'avance. (Si le polygone a six côtés, comme celui de la figure, la somme des angles est 180" X 4 ou 720 degrés.) La différence entre les deux sommes, divisée par le double du nombre des côtés du polygone, sera l'erreur moyenne des observations. Lorsque cette erreur moyenne surpasse celle qu'on doit attendre de l'instrument employé, il faut recommencer l'opération; dans le cas contraire, on peut considérer les observations comme exactes et se dispenser de la mesure directe des angles en O ; mais alors on corrige les angles observés en augmentant ou en diminuant chacun d'eux de l'erreur moyenne dont nous venons de parler.

Les mesures une fois prises et corrigées comme il vient d'être dit, il reste à faire le calcul des triangles. Le premier triangle ABO, dans lequel on connaît le côté AB et les angles, fera connaître les côtés AO et BO {premier cas des triangles obliquangles); le deuxième triangle BCO, où l'on connaît maintenant le côlé 08 et les angles, fera connaître BC et CO; le troisième CD et DO, . . . , enfin le dernier FÂ et AO. Ici on a un moyen de vérification des opérations ; car la valeur du côté AO, fournie par le dernier li'iangle, doit être la même que celle qui est donnée par le premier.

Ce premier réseau de triangles constitue ce que l'on nomme le canevas principal. Tous ses côtés peuvent servir à leur tour de bases pour relever d'autres points, et, conmie ils rayonnent dans des directions diverses, on pourra toujours s'arranger de manière à n'avoir que des triangles avantageux. Ainsi on relèvera les points G et H en les rattachant au côté AB, et en mesurant simplement les angles en A et en B des triangles ABG et ABH; on calculera ensuite les côtés de ces triangles. Pareillement, on relèvera les points I el J en les rattachant au côté CD du polygone principal, et le point R en le rattachant au côté ED. Enfin les côtés de ces triangles secondaires étant connus, on peut les prendre eux-mêmes pour hases ; par exemple, on peut relever le point L en le rattachant au côté EK.