PiiODLÈME III. — Trouver la hauteur d'une montagne

Soit SU [Jig. 23) la hauteur qu'il Caut mesurer. On prendra deux stations A et B, dont l'une A soit à peu près dans le plan horizontal du pied de la hauteur SII, et telles qu'on puisse mesurer aisément avec la chaîne la distance effective des points A et B. Ou placera le graphomètre à la première station, de manière que le centre du limbe soit en un point C de la verticale du point A, et l'on plantera en B un jalon muni d'un signal D ; on amènera le plan du limbe à passer par le point S et par le signal D; on mesurera alors l'angle SCD en dirigeant

l3o TRAITÉ DB TllIGONOMËTniE.

successivement l'alidade vers le poiut S et vers le signal D; puis, sans déplacer le pied de l'instrument, on placera le limbo

verticalement, de manière que son diametie soit borisoiital et que son plan paase toujours par le point S, on dirigera l'alidade veis le point S, et 1 ou évaluera I angle SCK qu'elle forme avec le diamctie du limbi Enfin on transportera l'instrument à la seconde station, de manière que son centra occupe le point D projeté en B, et l'on plantera au point A la jalon qui était en B, puis, en opérant comme précédemment, on mesurera l'auglo SDC.

La base ÂB •■= CD ayant été mesurée avec la cbaine, comme il a été dit plus liaut, on connaîtra le côté CD et les angles du triangle SCD : ce triangle donne

AB sinSDG ^^- sinCSD '

puis le triangle rectangle CSK donne

donc

K. = SCsinSCK;

A BsinSDC sinSCK sinCSB

logSK = logAB -I- logsinSDC + log sinSCK — logsÎQCSD,'

On calculera SK par cette formule, et, en ajoutant ensuite au résultat obtenu la hauteur AC — KH du grapliomètre, on aura la hauteur clxercbée.

CnAPITGE TKOISIÈIUE. l3l

102. pROBtiaiE IV. — 'Ti-ouvei- la distance d'un point à un point inaccessible.

Soient C {fig- 24} le point où l'observateur peut stationner, A le point inaccessible et AC la distance demaudéc.

On mesurera, avec la diaSne, une base CD quelconqnc, » partir du point C ; on mesurera ensuite avec le grapbomètre les angles ÂCD et ABC, desquels on déduira la valeur de l'angle CAD; enfin on calculera le côté AC par la formule

103. PitOBlÈME V. — Trouwei- la distance de deux points inaccessibles.

Soient A et B {Jîg. 24) les deux points inaccessibles dont on veut déterminer la distance.

On mesurera, avec la cbaine, une base CD sur la portion du terrain où l'on peut stationner; on mesurera ensuite avec le grapbomètre les cinq angles BDG, ADC, ACD, BCD et ACB. Alors, dans les triangles ACD et BCD, où l'on connaîtra le côté CD et les angles, on pourra calculer les côtés ÂC et BG. Cela fait, on connaîtra, dans le triangle ACB, l'angle C et les deux côtés qui le comprennent ; on pourra donc calcider le côté AB, et la question sera résolue.

l32 TRAITÉ BE TKlGONOMÈTnlE.

Voici le moyen le plus simple de diriger le calcul. Nous désignerons, comme à l'ordinaire, par A, B, C les angles du triangle ABC, et par «, h, c les côtés respectivement opposés ; nous ferons de plus CD ^^ d. Les triangles BCD et ACD donnent respectivement

mCBD

logû = !og(? ■+- !og siuBDC — log sinCBD, logé = \ogd + log sinADC — logsmCAD.

Si maintenant qj désigne un angle auxiliaire, tel guo

le triangle ABC donnera (87)

tang — (A — B) = tang(ç — 4^")cot-C.

L'angle ç se calculera d'abord par la formule

logtaugf = ]og« — logé, ou

( !ogiangç = logslnBDC -h logshiCAD ^^' \ — JogsinCBD — logsinADC,

puis on aiu-a ensuite l'angle - (A — ^ B) par la formule

(2) log tang- (A — B) =logtang{? — 45°) -4-logcot- C.

Connaissant A — B et Ah-B, on pourra calculer l'angle A, et l'on aura enfin la distance cliercliée au moyen de la formide

asmG

d'où l'on déduit

i logc^logrf + IogsinBDC — logsinCBD I -hlogsinC — logsinA.

CllAPIïnE TROISEÈME. l33

RemArqtje. — Il est nécessaire, comme nous l'avons dit, de mesurer directement l'angle ACB ; car cet angle n'est égal à la différence des angles ACD et BCD que dans le cas très-particulier où les quatre points A, B, C, D sont dans un même

pk„.

104. Problème VÏ. — Par un point accessihle sur un terrain uni, tracer une droite parallèle à une droite inaccessible.

Soient (Jig. 25) C le point accessible et AB la droite inaccessible ; on opérera comme dans le problème précédent, pour

calculer l'angle CAB. Cet angle étant connu, on disposera un grapbomètre en C, de manière que le diamètre du limbe soit dirigé vers CA, et l'on fera mouvoir l'alidade jusqu'à ce que l'arc du limbe, compté à partir du diamètre, soit égal au supplément de l'angle CAB; cnGn on tracera un alignement, avec des jalons, dans la direction de l'alidade, et l'on aura la ligne demandée CE.

103. Problème VII. — Prolonger une ligne sur le terrain au delà d'un obstacle (jui empêche devoir la direction de cette ligne.

Soit {Jig. afî) AB la droite dont il s'agit de tracer le prolongement au delà de l'obstacle O. On mesurera, avec la chaiae, la longueur AB ; on prendra ensuite une station E, qu'on puisse apercevoir des points A et B, et de laquelle on puisse voir le terrain où doit se trouver le prolongement de AB. Des points A et B on mesurera les angles A et B du triangle ABE, et l'oa calculera le côté AE; à partir du point E, on tracera un alignement EF dirigé vers la partie du terrain qui est au delà de

l34 TRAITÉ DE TBIGONOHÉIRIE.

l'obstacle O. On mesureia 1 anqle AEF, et, si C désigne le point de rencontre de l'alignement Et avec AB prolongée, on

connaîtra, dans le triangle ACE, le côté AE et les angles t on pourra donc calculer EG et l'on aura ensuite, avec la chaine, le point C sur le terrain; puis, traçant un alignement CD qui

fasse avec EC un angle égal au supplément de ACE, on aura le prolongement cherclié.

Si la droite AB était inaccessible, on se servirait d'une baso auxiliaire meii>ée parle point E, pour mesurer les éléments du triangle ABE, comme dans le problème V.

106. PitoBLÈMB VIII. — Trois points A^B, C (Jig. :iy)étani situés sur un terrain uni et rapportés sur une carte, déterminer sur cette carte le point M, d'où les distances AB et BC ont été vues sous des angles et et S que l'on a mesurés. Fig. 27.

Le point M est à l'intcrseetion des segments capables des angles a et ë, construits sur AB et BC respectivement; mais il s'agit ici de rattaclier ce point par des éléments calculés aux points donnes A, B, C.