CHAPITRE TîlOISltjlE. iSa

Soient AB:=a, EC = è, et prenons pour inconnues les angles MAB.= x et MCB=^. Les triangles ÂMB et CMB donnent

BM=-T— ) BM==-^

d'où

sin^ hsiaf sin^ __ h

Soit ® m

lan

gle auxiliaire, tel que

on aura

sin.r

d'où

sinj;~siiir tangf~f

ou(i8)

îangj

-j) u,ngç~tan^45" j

On a d'ailleurs, en désignant par » l'angle ABC,

donc

taHg^(:c — j) = tang(Y— 45")tangf 180°— 1-^1— -J?j.

Au moyen de cette formule, on calculera l'angle- [x — y) et, comme- (ar-f-^) est connUj on connaîtra aussi les angles ;ï: et;f' qui déterminent la position du point M.

Remarque, — Si l'un des factcm-s de l'expression de tang ~ (:r — y) est nul sans que l'autre soit infini, les angles x et j sont égaux entre eux. Mais si le second facteur est infini,

l36 THAITi! DE TRIGONOMÉTRIi;.

le premier est nul et la valeur de tang- {x — j) se pre'sentc sous la forme-- On peut vérifier que, dansce cas, le problème est eifectivcmcnl indéterminé. En eireL, pour que le f'actour

soit infini, il faut que l'on ait

ce qui est la condition pour que le quadrilatère ABCM soit inscriptible; par conséquent, dans le cas que nous considérons, les deux segments capables des angles « et ê, dont l'intersection détermine le point M, coïncident. Alors le facteur

tana (» — 45°) est nul; en effet, on a tans 9 = *^-;, ; ~. — i mais -:— g et -: — sont les diamètres des cercles circonscrits

aux triangles ABM et BCM (T6), et, puisque ces deux cercles coïncident, on a tangos =;i; par suite (f= 4^° ei lang(cj-— 45") = o.

QUIïSTIONS PROPOS ÉES.

I. Quel doit être le rayon d'un cercle, pour que la différence entre un arc de 10 métros et sa corde soil plus petite que i millimètre?

II. Résoudre un triangle, connaissant la base, la hauteur et' la différence des angles à la base.

m. Résoudre un triangle, connaissant les trois hauteurs.

IV. Résoudre un triangle, connaissant les rayons des cercles csinscrits.

V. Calculer l'aire d'un trapèze dont on connaît les quatre côtés.

VI. Construire un triangle équilatéral dont les sommets reposent sur trois circonférences concentriques, ou sur trois droites parallèles situées ou non dans un même plan,

VII. Par un point 0, pris sur le prolongement du diamètre AB d'un cercle ayant C pour centre, on mène une sécante OJrlM', et l'on deniande de démontrer que le produit tang-MCO.tang-M'CO est constant, quelle que soit la sécante menée par 0.

CEE troisièmî:. .37

VIII. Quatre droites OP, OA, OQ, OB, issues d'un même [loitit, sont coupées par une sécante PAQB ; démontrer que le rapport -^ ; j^ a une valeur constante.

IX. Quatre plans OP, OA, OQ, OB, menés par une même droite 0, sont rencontréspar une sécants PAQB; démontrer que le rapport tjïï^ttïï a- une valeur constante.

X. Trouver les surfaces des polygones réguliers de n côtes, inscrit et circonscrit au cercle de rayon /■ on fonction de n et r. Déduire de là les relations connues entre les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit de n et de an côtés.

XI. Si îe triangle ABC est rectangle en A (voir la figure du n" 68), et que l'on abaisse la perpendiculaire AD sur îe côté EC, on a, comme on

sait, -^z:^ = 7^- On demande si cotte relation peut subsister quand

AC ^^ l'angle A n'est pas droit .

XII. Démontrer que, si les bissectrices de deux angles d'un triangle sont égales entre oilos, ces deu.i angles sont ous-mémes égaux.

TRAITÉ DE TaiGONOMÉriilE.