D.OEtosDOE = {ou'— AD°)-I- (oe'—Ae") -i- sAD.AEcûsDAE

Sëc& sotccosïï = 1 -i- tangÈ tangc cosA,

ou eniîn, en multipliant de part et d'autre par cosS cost,

cos« :=; cos&cosc -!- sin^ sinccosA.

Telle est !a relation qui existe entre l'angle A et les trois côtés.

109. Nous avons supposé les côtés £ et c inférieurs à 90 degrés, mais la formule que 11

s avons obtenue est générale.

En elïet, supposons d'abord c ^ 90", mais è <] 90", et pro-

longeons les arcs de grandcercle AB et EC {Jîg. ag) jusqu'à îei

l4o TriMIÉ DE TRIGOKOSlÉTniC.

rencontre en B' ; si l'on fait AB'^ c', CB'^= a', le triangle A B'C donnera

car les côtés (/ et b sont moindres que go degrés. Remplaçant a', c* et E'AG par leurs valeurs 180" — a, 180" — c, 180" — A, et cliangeaiit les signes des deux membres, on a

ce qui est la formule obtenue au n" lOS.

Supposons maintenant è^go", c'^go", et prolongeons

les côtés ÂB et AC (Jîg- 3o) jusqu'à leur rencontre en A'; si l'on fait A'C = &'■, A'B =^ c', le triangle A'BG donnera

cos« = cos&'cosc' + sin 6' siik/ cos A', et, en remplaçant b\ </ et A' par leurs valeurs tSo" — ù, I So° — c, A, on retrouve la formule

Enfin, comme celle-ci a lieu, quelque petits que soient les compléments de b et de c, à 90 degrés, on peut en conclure qu'elle subsiste encore à la limite, lorsque l'un des côtés b et c, ou tous deux, deviennent égaux à go degrés.

De la formule qu'on vient d'établir on déduit deux autres formules semblaLlos par de simples cliangemeiits de lettres. On a ainsi les trois équations

1 eos« = cosA cosc -h sinS sine cosA,

s QUATRIÈME. 141

(jii'on doit regarder comme les formules fondamentales de la Trigonométrie spliérique. Il ne saurait exister, en effet, esiLre les éléments d'un triangle une relation distincte des précédentes 5 car, autrement, en éliminant les angles A, B, C à l'aide des formules (i), on obtiendrait une relation non identique entre les trois côtés, ce qui est absurde. Mais on peut des relations (i) déduire plusieurs autres formules qu'il est indispensable de connaître, et que nous allons établir.

110. Reiatioms ebtre heux côtés ex les angles opposés. — Pour avoir une relation entre les côtés «, h et les angles

A, B, il suffit d'éliminer c entre les deux premières des équations (i); cette élimination se fait d'une manière très-simple, en introduisant dans les équations (i) les sinus des angles A,

B, C à la place des cosinus.

La première des équations (i) donne

■os'è)(i-

- (cos« — c

;os^>msc)'

sin'Èsi

.s'6-cos'

'. + ^cos«

00s A cosc

et, par conséquent,

Cette valeur de ■ . -^ ■■ ne change pas quand on permute les lettres a, i, c; il en résulte que les équations {1) donneront la même valeur pour . — -r et pour . ^ ; par conséquent l'élimination que nous avons en vue se fait d'elle-même. Enfin, comme les angles et les côtés d'un triangle sont moindres

fija TRilTÉ DE TRIGONOMÉTBITÎ.

que i8o degrcs, leurs sinus sont positifs, et l'on a

formule qui exprime que, dans tout triangle sp'héri<]ue, les sinus des angles sont proportionnels auœ sinus des côtés opposes.

ÎH. Relations entue cihq élé-weïïts. — On obtient des relations très-utiles entre cinq eléinents en prenant la valeur du cosinus par rapport auquel est résolue l'une quelconcjue des équations (i), et en substituant cette valeur dans les deux autres équations. Par exemple, si l'on porte, dans la première des formules (i), 1^ valeur de cosc tirée de la troisième, il vient

coS(ï=zrcos<Tcos'& + siD « sîtt 6 cos i cosG -I- siu&sincOTaA;

faisant passer dans le premier membre le premier et Se deuxième terme du second membre, remplaçant i — cos^i par sîa' & et divisant ensuite par sin 5, il vient

et l'on oId tient cinq autres formules semblables par des permutations de lettres, de sorte qu'on a le système suivant :

I cosÈsinii— sTnÈcosflcosC = ànecosB, osôsidc — siii6cosccosA:= sinjicosB, os c sin 6 — sin c cos 6 cos A = slna cosC, ose sin^ — sine cosffi cosB = sin b cosC,

Ces six relations sont liomogènes par rapport à sina, sine, sine; on peut donc remplacer ces sinus par les sinus proportionnels sin.A, sinB, sinC, et l'on obtient ainsi les six nou-

CHAF

TRE QUiTRiSSIE

lies suivantes

cosa sinB ~ «

sècosGsinA-

cosA sin G

cosésmA— et

«acosCsiiiBr:

cosBsinC,

cos&sinC — C£

sccosAsinB^i-

cosB sinÂ

cosc siiiB— ce

sScosAsinC :::--

cosC siiiA,

caacsmA— co

SflCosBsinC=.

cosCsinB,

coSiîsiaC— c

se cosBsmA---

cosAsiuB.

H2. Relatioïss entbe deux côtés, l'anc CES c&TÉs ET l'angle OPPOSÉ A l'vs d'ëtjx, — On obtiendra l'une des relations dont il s'agit en prenant deux des équations (i) et en éliminant entre elles le côté opposé à l'un des angles qui y figurent; mais, comme ces deux équalions renferment à la fois le cosinus et le sinus du côté en question, on simplifie le calcul, en faisant usage des formules (2) qui permettent d'éliminer successivement le cosinus et le sinus.

La première partie de cette élimination a été effectuée au 11" m, et, pour obtenir les relations cherchées, il ne reste plus qu'à éliminer le sinus qui figure dans le second membre de chacune des équations (3) au moyen de celle des formules (2) qui ne contient que les mêmes éléments. Par exemple, si l'on divise la première équation (3) par

îl vient

cot«sini — cos6 cosG^ cotAsinG;

c'est l'une des équations cherchées, et l'on peut en déduire les cinq autres par des permutations de lettres. On a ainsi le système

ib — cotAsinG — cos& cosC, a — cotB sinG = cosocosG, ic — colB sinA=~ cosc cosA, b — cotCsinA -r cos6 cosA, a ^- cotG sinB --- cosacosB, c — cot A sinB := cos c cosB.

l44 TRAITÉ DE TlîlGONOMÉTBIE.

113. Relations ehtke un côté et les thoss i On obtiendrait une relation entre a, A, B, C en éHniinant b et c entre les formules fondamentales (i); mais on arrive beaucoup plus facilement au même résultat en faisant usage des formules (4)- Ainsi, en éliminant eos Centre le s deux premières équations (4)) on trouve la formule

cosA =: — cosB cosC ^- sinB sinC coscj;

on en déduit deux autres formules semblables par la permutation des lettres, et l'on a ce dernier système

j cosA = — cosB cosC -h sinB sinC cosa,

(6) ' cosB= — cosAcosC4~sinAsinGcosS,

( cosC = — cosA cosB -^ sinA sinB cosc.

Remarque. — Les équations (i), (a), (5), (6) ne renferment chacune que quatre éléments; elles sont au nombre de quinze, nombre qui est celui des combinaisons de six lettres quatre à quatre.

Du triangle sapplèvientairc .

lli. On sait qu'à cloque triangle spliérique correspond un second triangle qu'on nomme triangle polaire ou supplémentaire. Les sommets de l'un des deux triangles sont respectivement les pôles des côtés du second, et les angles de chacun d'eux sont les suppléments des côtés de l'autre.

La considération du triangle supplémentaire est souvent utile dans la Trigonométrie sphérique. Par exemple, les formules fondamentales (i) du n" 109 ayant été obtenues, si on les applique au triangle supplémentaire du triangle proposé, on obtiendra immédiatement les formules (6) du n" HZ. II suffira eifectivement pour cela de remplacer, dans les premières formules, n, b, c, A, B, C respectivement par 180"— A, 180"— B, 180"— C, 180"— «, 180" — è, 180"— c.

Pareillement, on obtient les formules (4) du n" 111 en appliquant les formules (3) au triangle supplémentaire. Quant

ciMPtTRK quathième. i45

aux autres systèmes que nous avons obtenus, ils iic conduisent à aucune formule nouvelle.

Nous présenterons encore ici un exemple des avantages qu'on peut tirer de la considération du triangle suppléaientaire.

Désignons pari le rapport constant qui existe entre le siaus d'un angle d'un triangle spliérique et le sinus du côté opposé. On a trouvé (110)

sin'tisiii^ésinV relation que l'on peut écrire comme il suit : 3cos^zcos5o03c= (r— i)s;n=flsiii^6sin=c

-t- cos'a(i — ■ sin'&sin'c) + cos'è cos?c;

tous les termes du second membre de cotte formule sont positifs si l'on a

et il en résulte cette proposition :

Théokème I. — Si, dans un triangle sphàriquo, la valeur

, sioA sinB sinC

commune des rapports —. — -5 ■ .-, > — — est supeneui-e ou '^'^ sina smè smc "^

égale à l'unité, les trois côtés sont inférieurs à go degrés, ou

un seul côté est inférieur à 90 degrés.

Appliquant ce théorème au triangle supplémentaire, on

obtient le suivant :

Théorème II. — iSt, dans un triangle sphérîque, la valeur

, sioA sinB siriC . „, .

commiuie des rapports -. — j -^-rj —■ — est injeriewe ou

égale à 1, les trois angles sont supérieurs à 90 degrés, ou un seul angle est supérieur à 90 degrés.

Formules relatives aux triangles rectangles.

lis. Lorsqu'un triangle spliérique n'a qu'un seul angle droit, le côté opposé s'appelle hypoténuse.

Trlg. S. i«

lijb TRAITÉ Dlî TBIGONOMÉTBIE.

En faisant l'hypothèse A = 90 degrés dans celles des formules des n"" 109, HO, 112 et H3 cjui contiennent l'angle A, on obtient les suivantes, qui sont particulières aux triangles

rectangles :

itang* =; tanga cgsC, tangc=tang«cosB, tangfi = sîiLctangB, tangc := sinS tangC; icosii=: cotBcotC, cosB = cos&smC, cosC = cos<;smB.

Ces dix formules ne contiennent chacune que trois éléments; leur nombre est précisément celui des cumhinaisons de cinq lettres trois à trois.

L'équation (i) exprime que :

Dans un triangle sphériqiie rectangle, le cosinus de l'hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés.

Il en résulte que les cosinus des trois côtés sont positifs, ou que deux d'entre eux sont négatifs ; par conséquent,

Dans tout triangle sphérii/ue rectangle, les trois côtés sont moindres que go degrés, ou bien un seul de ces côtés est moindre que 90 degrés.

Les équations (2} expriment que :

Dans tout triangle sphéri^ue, le sinus de l'un des côtés de l'angle droit est égal au sinus de l'hypoténuse multiplié par le sinus de l'angle opposé.

Les deux premières équations (3) expriment que :

Dans tout triangle sphéri^ue rectangle, la tangente de l'un des côtés de l angle droit est égale à la tangente de ihypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle adjacent.