COS
= acos
in{^-.
= 3 sin
•in
^oeesi
CIlAriTRE QUAIHIÈSIE.
et, par cousecjuent,
cosiC
isfc
smi(A-B)
sm-i-
cosiC
1 cosHA + B)
ojio
«inJ
Ces formules renferment les six éléments du triangle : elles ont été découvertes* par Delambre, qui les a fait connaître en 1807, dans la Connaissance des Temps pour 1809 (p. 443)- Gauss, à (jui elles sont quelquefois attribuées, ne les a données que deux ans plus tard, dans l'ouvrage intitulé : Tlieoria motus corporum cœlestium in soctionibus conicis Solein amhientium.
122. Formules nE Néper. — Si l'on divise la première des équations (7) par la troisième, la deuxième par la quatrième, puis la quatrième par la troisième et la deuxième par la première, on obtient les quatre suivantes :
Sang -(A -h B I tang^(A~B I tang-(<H- b\
tang-(a — b
cos|(a + 6)'
.ini(a-S)
smi(«-i.S)-
oi.!i(A + B)
ïini(A-a)
Ces équations (8) sont connues sous le nom de formules de Néper; chacune d'elles exprime une relation entre cinq éléments d'un triangle spliérique.
6 TBAITÈ DE TRIGOnOîlÉTiiSE.
123, Des formules (7) on tire
cos-jc-Hcos^C co
t(A-B)~smi
siniC + ,mie co cosiC-,ini« m
l(i B)-sini
cos^C + silice sir
i(A-B) + .kii oo!i(A + B) + o
„i(A + B) + co>i(o + ») Si l'on fait, pour abréger,
A-!-B — S-î-iBo", A — B = D, û-HÙ — i + 180", a — b^il,
et qu'on transforme les formules précédentes par le procédé du n° 18, il viendra
l tfliig — 7- I H-
taiig(45''-l-~-
S — rf .( — D
D— ^ D+rf
Mi
de ces formules (g) et (10) on tire
f c— c ^ / s -hrf «— rf i+D s—D
tang— 7— =zl, W tang — 7— tang — 7— tang— 7— tang— 7—
i, /',„ C-c\ r~ ' D— (/ ,D+rf .S— r.
tang US'h T— =-Hi/— tang— — -cot — r— cot— --tang \ 4 / V 4 4 4
tang 45''h ;— — '— 1/— cot— ; — tang— ;— cot— 7— tang-T— \4/V 4 44 4
OHAPIÏKE QUATUltlIl!. Ij;
Dans la seconde formule (ii) et dans la première (13} le radical doit être pris avec ,1c signe -h, parce que les arcs — - —
et 45" H 7 — sont compris entre o et 90 degrés, et cjn' ainsi
leurs tangentes sont positives. Dans les deux autres formules le signe du radical se détermine facilement; en effei;,
tang ■ ■ . ■ a le môme signe que les seconds membres des formules (9); pareillement, tang (45" H ^ — ) aie même signe
que les seconds membres des formules (10).
Expressions diverses de l'excès sphérique.
Formules nouvelles.
124. L'excès spliërique qui mesure, comme on sait, la surface du triangle, est un élément d'une grande importance dans les applications de laTrigonomctrie à la Géodésie. Nous allons faire connaître ici diverses formules nouvelles où figure cet élément, et qui pourront servir à le calculer dans les différents cas que l'on peut avoir à considérer.
Si l'on multiplie entre elles les deux premières équations du système (4) du -a° 120, ainsi que les deux premières du système (5), puis que l'on divise les équations résultantes par la troisième équation (3), il viendra
ajoutant ces deus équations après les avoir multipliées respectivement d'abord par cosC et i, puis par i et cosC, il vient
l58 TiiMTÉ lu; THlGONOMÉTIir ,
et, si l'on divise respectivement la première et la deuxième formule (i) par la première et la deuxième formule (2), on aura
/ I t-ditsiataxyeibsmG
tangos = — — 2^— q - ' , , -,
j a I -i- tangyataogjôcosC
* j /p I \ cot|û;cot^*smG
l \ a y ^ 1 -i-cotjiïcot^âcosO
La première des formules (3) donne l'excès spliérique en fonction de deux côtés et de l'angle compris ; la première formule de l'un des systèmes (1} et (2) fournil aussi une expression de l'excès sphérique; mais cette expression dépend de quatre éléments. Il faut remarquer (jue les deux formules (3) ne sont autre cliose que des transtormées de la première des formules de Néper, savoir
tang- ^ [A 4- B) ^ coî ^ C ^gi^.|| ;
si, en efict, on remplace - ( A -f- B) par 90" — - (C — s), il
vient
(4) tang^- (C - = tang^ C S^î|ij±i-j,
formule de laquelle on déduit sans difficulté les deux formules (3).
On peut éliminer l'angle C des formules (i) et (2) au moyen des équations
. , I 2 iJdBj>sm{p — a )s m{p — b)sm{j> — c) sinC = 2sin-Ccos~(j^— — — -=■ ■ ,; i
cosC —
acosb
sjsmp si
v,lp-a]m^{p^b}sm{p~c]
2cosi«cosi6cosic
\/smp si
,n (p ~ a) sin(/' — b) sin(p ~ c]
GUAPITRE QUA.TR1È)1K.
Les formules { 5 ) et (6 ) donnent des expressions de - s et de Ci -— -- £ en fonction des trois côtés, mais on. peut en obteiiiî' d'autres beaucoup plus simples.
Au moyen des formules (6) et des relatioi
on peut calculer les sinus et ks oosi -C — y'i\ on obtient ainsi, pour l'angle
■ I / siuH^sin'^é - (cos|c ^ COS-; « cos^é) = ™4' V " 4«>si«cos|ècosic
1 /fcos^c+ c05jacos|6)' — 3in'Aasin'|&
Les numérateurs des Tractions qui figurent sous les radicar..; sont immédiatement déeomposables en facteurs, eV l'on obtiesU les valeurs suivantes :
sin - 'sin^^^ siii^-— sin £SZZ cosi-acosi6cos|c
Oji retrouvera la première formule (5) en multipliant les équations (7) l'une par l'autre; en divisant, au contraire, la
lAITÉ DE TBIGONOHÉTRIE.
iiide, il vient
(8) tang|« = 4/tang^taiig~-^ti
formule remarquable, quiestdueàSimonl'Huîllîer, deGenève. La deuxième formule {(5) s(j déduit de la première en remplaçant dans celle-ci aetb par leurs suppléments 1 80" — <ï, 180" — 5, et e par 2C-— s; on peut donc faire ces mêmes changements dans les éqiiations (7) et (8), qui feront connaître alors
le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle - G — jz. Or, par
le changement de a et & en iSC — a et 180° ™ 5, les quan-
tites et — — — se changent iune dans 1 antre, tandis
que chacune des quantités — et se change dans le complément de l'autre; on peut donc écrire immédiatement les valeurs des lignes trigonométriques de l'angle -Q — jS^ et par ime simple permutation de lettres ou aura également les lignes trigonométriques des angles -A— yt, -B — yt. On
trouve, par exemple, en faisant subir àlaformule (8) les changements que nous venons d'indiquer,
tang^
langil^
tang^
.ang''-' '
•t.ng''-'
-. tang^?— — On peut résoudre les quatre équations (8) et (g) par rapport
aux quantités tang -5 taiig ) taiig— — , taug -
l'on obtient ainsi
tangf-^A— {s)taiig(J-ii— -^e)lang^{C — {ij'
tnng^--? = . A'"g^taag(|B---i.)t.agaC- 5 3 y tang(iA-i!)
"'S 3 ~V tang(iB — i») '
pj-c / tangXEb mg( U — |?)tangfiT "
■c^e circonscrit et des rayon:
des cercles inscrit et exinscrits.
125, Si l'on joint les trois sommets d'un triangle spliérique au pôle du cercle circonscrit, on déterminera trois triangles isoscèlesqiiiauront respectivement pour bases les côtés «, è, c. Désignons par x chacun des angles égaux dans celui de ces triangles qui a a pour base, par ^ et ^r chacun des angles égaux dans les triangles isoscèles gui ont respectivement pour bases li et c. Si le pôle tombe à l'intérieur du triangle, on
et, par consequen);,
Il est aisé de s'assurer que les Tris- ■''•
formules conviennent
l62 TBilTÉ Illi TIllGOKOIrtÉrRIE.
au cas où ïe pôle n'est pas situé dans l'iiitérieur du triangle, pourvu qu'alors on, considère comme négative celle des quantités x^jr, z qui se rapporte au triangle îsoscèlc situé tout entier au dehors du triangle donué.
Cela posé, désignons par R le rayon sphérique du cercle circonscrit au triangle, joignons le pôle de ce cercle au sommet A, et abaissons du même pôle un arc de grand cercle perpendiculaire sur le côté c; on formera ainsi un triangle rectangle dans lequel on aura
d'où, en remplaçant s par sa valeur 90° — ( C s j ,
iormiilc qui donne R en fonction d'un côté, de l'angle opjiosé et de l'excès sphérique.
Si l'on remplace sin ( C £ j par sa valeur tirée de la
deuxième des formules (0) dn n" 12i, il viendra
\/smp sm{p ^ a) sm[p
Enfin, si l'on substitue à tang- c, dans la formule (i), la valeur tirée des équations (6) dun" 120, on obtiendra la formule
i/sin(A-i,)™(ll
qui donne l'expression de B. en fonction des angles.
La formule (i) contient la démonstration du théorème suivant, dû. à Lexell :
Le lieu géométrique des sommets de tous les triangles sphériques de même base et de même surface est une circonfé-
CHAPITRTl QUATHIÈMl. l63
rence qui passe par les deux points diamétralement opposés aux extrémités de la base.
Car soient A'B'laliase donnée et A'B'C l'un des triangles pour lesquels l'excès sphérique a une valeur donnée e'. Soient A et B les points diamétralement opposés à A' et B', et t l'excès sphérîque du triangle ABC, Par un théorème connu en Géométrie, la somme des surfaces des deux triangles ABC et A'B'C est égale à la surface du fuseau dont l'angle est G; on a donc
e -:- s'z=:2C, d'où -*s'=G — "S.
Maintenant, si R désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, on a, parla formule (i),
et, comme c et t' sont constants, E. est lui-même constant, ce qui démontre le théorème énoncé.
126. Désignons par r le rayon du cercle inscrit dans un triangle sphérique. Si l'on joint le pôle de ce cercle au sommet A, et que l'on abaisse une perpendiculaire sur le côté è, on formera un triangle sphérîque rectangle, dans lequel
l'un des côtés de l'angle droit sera r; l'autre sera — '
ou /? — a, et l'angle adjacent sera - A; on aura donc
tang?' = sin[p — a) Ung ~A,
ou, en remplaçant Cang- Aparsavaleurcn fonction des côtés,
,4, ,„,.= yA»ÏZE2=£EÏISZH3.
Si l'on désigne par œ, 6, y les rayons des cercles exinscrits qui
l6lî TUAITÈ DE TRIGONOMÉTRIE,
touchent respectivement les cotés a, i, c et les prolongements des deux autres, on trouvera de la même n
liésoluUon des triangles spliériques rectangles.
127. Un triangle spliérique peut être bîrectangle ou môme trîrectangle. Bans le premier cas, deux côtés sont égaus à go degrés, et le troisième côté est égal à l'angle opposé. Dans le second eas, les trois côtés sont égaux à 90 degrés. Les triangles de cette espèce ne peuvent donc donner lieu à aucmi problème.
La résolution des triangles qui ont un seul angle droit présente six cas distincts que nous allons traiter, mais nous devons rappeler d'abord une remarque que nous avons faîte dans le Chapitre précédent à l'occasion des triangles rectilignes.
Lorsqu'un eôlé ou un angle d'un triangle sphérique est donné par son. cosinus, par sa tangente ou par sa cotangente,
a valeur est déterminée, car ce côté ou cet aneie est
jompris
entre zéro et 180 degrés; mais, s'il est donné par son sinus, i n'est pas entièrement déterminé; car à un sinus donné correspondent deux arcs ou deux angles supplémentaires.
Rappelons encore que, si l'angle ou le coté qu'on veut calctder est donné par son cosinus ou par sa tangente, et que la valeur de ce cosinus ou de cette tangente soit négative, il faut calculer à sa place l'angle supplémentaire qui a, au signe près, même cosinus et même tangente.
128. Premier cis. — Etant donnés l'iijpoténuse a et un côté b do l'angle droit, calculer le troisième cotée et les deux: angles obliques B et C.
CîIAPITRil QUATRIËIIE. l65
On peut calculer les éiémenls ineonnus par les formules suivantes dun" Ho :
cosa . sinb p__taiig6
"" cosû ' ~ sirm' Uaga
Maïs il vaut mieux faire usage des formules du u" H6, savoir :
tajig- (« — 6)uiig-(a+ S),
tang^(<î— &]
1 /sin(rt — 6)
Ces dernières formules exigent seulement, comme les précédentes, la reclierche de quatre logarithmes pour la détermination des trois éléments inconnus ; mais elles ont sur celles-ci l'avantage de donner les inconnues par des tangentes.
E.EMAUQDE, ~ Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que l'on ait sini <^ sin«; car, si cela a lieu, la valeur de sinB sera inférieure à i, et les valetu's de cosc et de cosC seront comprises entre — i et + i. L'inégalité dont il s'agit exige que l'on ait 6<^a ou i^iSo" — a si a est <C9o"; et 5 >. a ou J < 1 8o" — a si a est >- 90" ; si a = 90°, l'inégalité sin&<;^sina a lieu nécessairement. Lorsque la condition de possibilité est satisfaite, le problème admet une solution unique, bien que l'angle B soit donné par son sinus ; car cet angle doit être inférieur ou supérieur à 90 degrés, suivant que le côté donné b est lui-même inférieur ou supérieur à 90 degrés. La même considération permet de fixer le signe avec lequel il faut prendre le radical qui exprime la valeur de tangU5°H-^Bj.
129. I>BuxiÈME CAS. — Etant donnés les deux côlÀs b et c de l'angle droit, calculer V hypoténuse et les deux angles obliques B et C.
l66 TUAIïfi Ï)E TRIGONOMÉTRIE.
On emploiera les formules
tancé taiiei;
cos « = cos 6 cos c, tang B — -^— -, tang C = -^- •
Si le côté a est mal déEeraiiné par son cosinus, il faudra commencer par calculer B ou C, et l'on obtiendra ensuite a par l'une des formules
Remarque. — Le problème admet toujours une solution unique.
130. Troisième cas. — Etant donnés l'hypoténuse a et, l'angle oblique B, calculer le deuxième angle C et les deux côtés b et c de l'angle droit.
On emploiera les formules
■ , . . ^ cotB
sm* = smiïSinB, tangc=: tangiicosB, taiigCT= — — .
Si le côt^ h est mal déterminé par son sinus, il faudra commencer par calculer c ou C, et l'on aura ensuite b jiar l'une des formules
tangè = sinctang:B, tangi =: taagircosC.
Remarque. — Le problème est toujours possible et il n'admet qu'une solution, car l'inconnue b et l'angle donné B sont en même temps inférieurs ou supérieurs à 90 degrés.
131 , QuATRiiiME CAS, — Etant donnés un côté b de l'angle droit et l'angle opposé B, calculer les côtés a et c, ainsi que l'angle C.
On peut employer les formules du n*" ii^
. __sinè . tang6 . „cosB
yGoosle
CnAPITEE QUATRIÈME. l6^
Maîsi! vaut mieux se servir des formules suivantes du n" H6 : ( f^.. ' \ ■ . /tangi{B + b)
tang- (45" H- - C J == r:^ l/tot i ( B -h t) cot i (B — è),
qui doiiuent les trois inconnues par leurs tangentes.
RiEMÂuQUE. — Chacun des deux précédents systèmes de formules peut donner pour chaque inconnue deux valeurs supplémentaires. Il importe donc de savoir déterminer quelles sont les valeurs qu'il faut prendre ensemble.
D'abord, si h =. B, on a
et le triangle est birectangle. Supposons donc h différent de 13.
i" Si b est <^ 90", il faut, pour la possibilité du problème, que B soit aussi -^^ 90", et que l'on ait en outre ô <^ B. Supposons cette condition remplie; cosÔ étant positif, l'équation cos« = cos & co s c montre que tï et c sont en même temps inférieurs ou supérieurs à 90 degrés; la même chose a lieu d'ailleurs à l'égard de c et de C, Si donc on désigne par «', c' et C les valeurs inférieures à 90 degrés que les Tables font connaître pour fl, c et C, on aura les deux solutions
a^lHo^—a', c=-i&o'-—c\ C = lSo"— C.
2" Si b est |> 90", les conditions de possibilité du problème sont B^go" et è > B. Supposons qu'elles soient remplies; cos b étant négatif, l'équation cosfl = cosô cosc montre que o et c sont l'un supérieur et l'autre inférieur à 90 degrés ; et, comme c et C sont tous deux supérieurs à 90 degrés, si l'on désigne toujours par a', c' et C les valeurs de o, c et C que les
TRASTÉ BIÎ
TRÎfiONOHÉIRIE.
Table.
S font connaître, on a
lira ces deux se
lîutions :
iSo°~c, C =
Il est facile de voir, a priori, qu'en exceptant le cas Ae b =^ Ë le problème admet deux solutions lorsqu'il est possible . Supposons, en eiFet, que le triangle ABC, rectangle en A, satisfasse à la question(-yoi> la figure dun°109, p. iSg), et prolongeons les côtés AB et BC jusqu'à leur rencontre en B'; on formera un second triangle rectangle AB'C qui répondra aussi à la question,
132. GiNQitiÎDMË CAS. — Etant donnés le côté h et l'angle adjacent C, calculer l'angle B et les deux côtés a et c.
On emploiera les formules
cosB^cosèsinC, tang«^^^, tangc = smé tangC.
Si l'angle B est mal déterminé par son cosinus, il faudra commencer par calculer iiouc, et l'on aura ensuite B par l'une des formules
cotB = cos«taDgC, cotB = sine cote.
TÎEMinQTJE. — Le problème est toujours possible et il n'admet qu'une seule sokttion,
133. Sixième cas. — Étant donnés les deux angles obliques B et C, calculer les trois côtés a, è, c.
On emploiera les formules
cosB cosC
cos(! = cotBcoîC, cos & ^ . ) cosc=:^— -
du n" \ 15, ou plutôt les suivantes du n° 116 :
tang ;^- <: = -h y' timg i-^ 45"j t;mg {—-
qui elonneut les înconnuns par leurs tangentes .
