CHAPITRE QUATRIÈHE

les deux solutions se déterminent par les considérations dont nous avons fait usage au ïi° 131 .

139. Cinquième CAS. — Etant donnés l'angle^ et le côté c^ calculer le côté b et les deux angles A et C.

Les formules à Rmplojer sont cos& = cosBsi

Si l'on veut déterminer b par sa tangente, il faudra commencer par calculer A ou C, et l'on aura ensuite b par l'une des for-

cot6=: — cosAtangc, coté =smGcotB.

140. Sixième cas. — Etant donnés les deux côtés b et c, calculer les trois angles A, B, C.

Les formules relatives à ce cas sont

cosA = — coîôcotc, COliQ ■:=: -- — 5 cosC=;-t— ^; mais il convient de les transformer dans les suivantes :

'»s^=-\/s;(S?fït

fang tang

Remarque sur la résolution des triangles sphérit/ues quelconejues.

Î4I . Les triangles rcctilatères ne sont pas les seuls dont la résolution se ramène à celle des triangles rectangles ; la même chose a lieu encore dans les deux cas suivants :

i" Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés

172 TRAITÉ DE TniGONOMÉTilIE.

égaux a et è, ou deux angles égaux A «t B, la perpendiculaire aLaissée du sommet C sur le côté AB partagera le triangle ABC en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties. On résoudra l'un de ces triangles rectangles où l'on connaît deux éléments outre l'angle droit, et l'on aura immédiatement les éléments inconnus du triangle proposé.

2" Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés a et b ou deux angles A et B, dont la somme soit égale à 180 degrés, en prolongeant les côtés n et c jusqu'à leur rencontre en B', on formera un triangle AB'C dans lequel deux côtés ou deux angles seront égaux. La résolution du triangle AB'C se ramène, comme on l'a vu, à ccUe d'un triangle rectangle ; elle entraine d'ailleurs celle du proposé.

La résolution des triangles sphériques en général présente six cas ; mais trois de ces cas peuvent se ramener aux trois autres par la considération du triangle supplémentaire, et les solutions de deux cas correspondants s'obtiennent par des formules analogues. I! n'y a donc en réalité que trois problèmes distincts .

RésoliLÛon d'un triangle spkériijue dans lequel on connaiî les trois côtés ou les trois angles.

i42. Première méthode. — Si les trois côtés sont donnés, on peut calculer les angles par les formules (i), (2) ou {3) du «"319; on doit préférer les formules (3), savoir;

smp nia[p -

2 V sm;:.sin(

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se rappeler que p désigne le demi ~ périmètre