CHAPITRE QUATHIÈMI!, i'jS
Si ce sont les angles qui sont donnés, on pourra calculer les côtés par les formules (4), (5) ou (6) du n° 120; on doit préférer l'emploi des forratiles {6), savoir :
/ .ini.s
sm(B - j
■ )Bm(C--i,)
! siiiis s
an(A-i
/ sini.
'^"^Î^ Vsin(A-i.)sin(B-^.r où s désigne l'excès sphérique A-i-B-hC — 180".
Remakqtie. — Pour qu'un triangle soit possible avec trois côtés donnés, il faut et il suffit: 1° que la somme de ces trois côtés soit inférieure à 36o degrés ; 2" que chacun des côtés soit inférieur à la somme des deux autres. De uiènie, pour qu'un triangle soit possible avec trois angles donnés, il faut et il suffit : i" que l'excès spliérique qui résulte des angles donnés soit compris entre zéro et 36o degrés ; 2° que chacun des angles donnés soit supérieur à la moitié de l'excès sphérique. Ces résultats de Géométrie sphérique se déduisent immédiatement de nos formules.
Lorsque les conditions dont il vient d'être question ne sont pas toutes remplies, les expressions des tangentes des demiangles inconnus ou des demi-côtés inconnus deviennent imaginaires.
4'43. Dedxijîme MÉTiiooE. — Lorsqu'on a besoin de calculer les trois éléments inconnus, on peut substituer aux formules précédentes les formules (8), (9) et (lo) du n° 124.
L'emploi de ces nouvelles formules n'exige, comme dans la solution précédente, que la recherche de quatre logarithmes; et l'on y trouve cet avantage qu'ayant calculé séparément les
quatre quantités A —
p — h^p — c, on a sultats obtenus.
■s, B e, C e et-e, ou», » — a.
1 moyen de vérifier l'exactitude des ré-
1^4 TRAITÉ DE rniGONOMÉTRIE.
ii^^. Exemple. — On donne les trois côtés
c = ^4''54'3t",o6, et l'on demande de calculer les angles A, B, C,
ItRElIlÈRE MÉTHODE.
TÏPE DU
/) — c 6o''a3'56'', gg
logsin/^ ï,847i3g4
!ogsm(/.-«) 1,5783980
\o%Si.n[p~- b) i,90o336i
logsJn(/î~c) 1,9392635
Calcul de l'angle B.
"' Y sin/)sm[/) — e)
]ogsm(p-~«).... 1,5783980
logsini/' — c) — 1,9392635
— logsin(/i — b) o ,0996639
— logsin/; o,i5a86o6
logtangP î,885o93o
iB 37''3o'a5'',8c.
B 75" o'5i",Co
Calcul de l'angle A.
°^ Y &mp&\a[p—a)
logsin(/i — &)..., ï, 9003361
logsia{/j — c) — 1,9392635
— iogsin(/>— rt) o,4ai6oso
^logsinp o,i5a86oB
log tang|A o,ao7o3ii
lA S8°io'i",ro
A iiO"ao'2',20
Calcul de l'angle C.
iogsin(/.~«).... £,5783980
logsin(/ï — b) i ,9003361
— logsm[p~c) 0,0607365
— logsiap o,i5a86o6
logtangiC T,S46i656
XC 35o3'29",58
CUAPITRE QUATBIÈME.
DEUXlÈaiË MÉTHODE.
[Emploi dûs formules (8) et (9) du 11° 124. "|
TÏPE DU CALCUL.
^p , &■)"?,<)' i^'jO'ii
i{p—a) Il" 7'45",7o5
Cakid de l'e.
sphérique
ÎOgtacgîp
logtangilp— 6)...
logtang^(/>-c)...
1,3938583 T, 6944058 îi 7649261
logtangi;) o, 8860840
logtaDgi(/)-û) T, 2938583
logtangj(/) — éj .... 1,6944058
logt3ng^(/!— c) 1,7649261
logtangi{;?^6)....
logtangi(/i— c]....
logcot^(p— (ï)
logcot^p
logtang(|A-{s).
Calcul de l'angle B.
hgisag^(p—a] ï, 2938583
logtangK/i — c) 7,7549261
logcolK/)— fi) 0,3055942
logcotj/i 1,6139160
logtang(iB-H--- 1,4891473
iB— 1£ 17° 8'27°,55
iB 37''3o'25',8o
B 75° o'5i\eo
Calcul de l'angle C.
logfangi[p-«).... 1,29 logtangyj/i— 6)....
iogcot-K/?— c)
logcot^/j
logtang(iC-is)..
iC— i-î
|C 35° S'ag'jSf)
Vérification :
is 4- (lA - |b) -h (iB — Is) + (AG — i-E) = 9o°o'o",o erreur sur l'ensemble: o",oi.
co,i("-
ÎTÔ'
sin^(«
siiT-i^
co>i(A
cosi|A-
iini(A ,ini(A
156 TRAIl'É DK IGIGONOMÉTRIE,
Resolution d'un triangle splicrique dans lequel on connaît deux côtés avec l' angle compi~is, ou deux angles avec le côté compris.
44S. Première méthode. — Lorsqu'on a besoin de calculer les trois éléments inconnus, on obtient la solution la plus simple du problème au moyen des formules de K^éper, savoir :
(1) ta^gl(A+B)=cotic
(2) tangi. (A — B) = cot ~C (3} tnng - [a -I- bj =;tang-c (4) t^,>gi(«-f-)='^<^g^^
Si les éléments donnés sont rt, b et C, on calculera d'abord A et B au moyen des formules (i) et (2); on calculera ensuite c au moyen de l'une quelconque des formules (3) et (4).
Si, au contraire, les éléments donnes sont A, B et c, on calculera a et è par les formules (3) et (4),etonsuiEeCparrune quelconque des formules (i) et (2),
Remarque 1. — Le calcul des éléments inconnus A et B ou a et b exige la recherche de cinq logarithmes ; il faut ensuite deux nouveaux logarithmes pour obtenir l'inconnue c ou C.
REMATiQiiE IL — Les données étant supposées comprises entre zéro et 180 degrés, le problème admet toujours une solution unique.
146. Deuxième méthode. — On peut encore résoudre le problème proposé en faisant usage des formules e'tablîes aux n°' 109 et suivants, et qui permettent de calculer directement chaque inconnue indépendamment des deux autres.
Si les éléments donnés sont n, è, C, les formules qui déter-
