COMPLÉMENI DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CIRCDLAIRES
Ves expressions imaginaires,
160- Coiiforméinent à l'usage adopté, nous représenterons par i l'imaginaire ^ — i , et nous appellerons expression imaginaire toute expression de la forme A <- Bi,
où A et B sont des rjuantités réelles, positives, nulles ou négatives.
Quand nous saurons d'avance que deux quantités réelles A' et B' sont respectivement égales à deux autres A et B, nous dirons que les expressions A 4- Bi et A'+ Wi sont égales.
II est évident que si l'on a plusieurs égalités de la forme A-hBi — A' + B'i,
et qu'on les multiplie membre à membre, en opérant comme si i était une quantité réelle, on obtiendra une égalité dans laquelle les coefficients des mêmes puissances de i seront égaux; l'égalité subsistera donc q\iand on rabaissera les exposants de (' au-dessous de 2, en faisant usage de l'équalion i^ = — i. Quelle que soit l'expression imaginaire A-f-Bi, on peut toujours trouver une quantité positive p et un arc a tels, que l'on ait
En eifet, il suffit de prendre
p = -I- v'ÂM^', A, - B
" -4- yJA? -1-1? " -i- v^A^+B' '
aOO TBAITÉ DE TniCOKOJllÉTRlE.
par conséquent, on peut écrire
A-+-Bi = pC0sa-f-/psm<3 ou, si l'on veut,
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p (cosa-t-isinn), la quantité positive p est dite son module; l'arc a est son argument.
Le module d'une expression imaginaire donnée est déterminé, mais l'argument ne l'est pas entièrement; car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son ar gument ou qu'on en retranche un nombre quelconque de circonférences.
Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi-circonférences; car, soit Aun nombre positif, on a, quel que soil l'entier ^,
-+- At= A(cosaifjc-4- isina^Tt),
~A = A[cos(2A-hi)irH-(sin(3/--4-i)w]-
Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux, et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de la circonférence. Supposons, en effet, que les expressions p(cosa4- ! sin«) et p'(cosa'-i- isina') soient égales ; on a
et, si l'on ajoute ces équations après les avoir élevées au carré, il viendra
p==p'=, d'où p=::p';
les modules étant égaux, les arcs a et a' ont même sinus eï même cosinus ; donciisnepeuvcntdifférer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence.
Les arguments de deux expressions imaginaires conjuguées, telles que Ah-Bï et A — Bi, ont même cosinus, tandis que
CHAPITHE CIKQUIÈBK. SOI
leurs sinus sont égaux et de signe contraire; la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence.
Opérations sur les expressions imaginaires, — Formule de Moivre pour un exposant entier et positif.
\^\ . Théorème, — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont rfispecticement le produit des modules et la Somm,e des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires
ayant l'uniLé pour module. Si l'on cil'ectue leur produit, il viendra
(es»
H- /sma)(cosè-h/sin6}
cosii cosft H- ( (sitta COS& -1- coso sinô) -h :
'sinasinô,
ou, à cause de i^:-; — i,
(cos-
-h/sina)(cos& + ;sin^'}
(cos«oosS~ sinosinS) + .(sinooosS -h .
josasinë).
Or nous s
•von. que IW a
on peut donc écrire
(eo,. + ,sm.)(oosi. + ismS) = co,(. + 6) + ;,m(<. + 6).
Soient maintenant p (cosa-t- (sina), p' [cosh-+- s sine) deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules p et p'; on a
,(eo.» + ,-sm«)Xf'(cos6 + ism6) = fp'x(»s<.-i-ism«)(o,«i-i-,-sm6),
TBAITÉ DE THIGONOMÉTRIK.
et, par conséquent,
f(™" + ■■"■■'■) xp'(.
= fp'[c..(,+ S) +
,inJ)
CouoLLArnE I. - — Le quotient de deux expressionx imagi naires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le quotient dos modules et la di ffére7ice des arguments du dividende et du diviseur.
Car, soient les deux expressions
,«} et p'(co3èH-ism&);
e-,[c<.i(«-i)-!-i.ii,(»-S)lXf'(co5i.+ iBmS)=p(»!«-i
= ?;[cos(<.-S)-H-f!m(.~«)].
GoROLLiittE n. — Xe module et l'argument du produit de tant d'expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux respectivement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et l'on ajoute leurs ai'guments. Pour multiplier ce produit par le troisième facteur, il faut multiplier son module par celui du troisième facteur, et ajouter à son argument celui de ce troisième facteur, et ainsi de suite.
GonoLLAiRE III. — Pour élever une expression imaginaire à une puissance entière et positive de degré m, il faut élever le module à la puissance m, et multiplier l'argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que l'on y considère.
Soit, en particulier, cosi7 4-isin« une expression imagi-
CnAPITRE CIHQUIÈÎIE. *o3
naire de modtile i ; on a
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moivrc.
162. Théorème. — Le module de la somme de deux expressioTis imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules de ces expressions.
En effet, soient les deux expressions imagi p{cosa-i-isiaa), p'(cosa' + ^si et posons
R(cosA-!- ;sinA)^p{cosc4- isinu)-!- p' (■ on aura
Si l'on ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré, et que l'on extrai e la racine carrée des deux membres de l'égalité résultante, il viendra
on a donc
^<^ie-*-p'Y ou <p-hp',
On déduit de là cette proposition plus générale :
CoftOLLAinE. — Le module de la somme d'un nomhre quelconijue d 'expressions imaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces expressions.
Multiplication des arcs.
163. La forniide de Moivre donne immédiatement les valeurs de cos/na et de sinma, en fonction de cos« et de sina. *ii, en effet, on développe le second membre de l'égalité
ao4 TBfLlTÊ BE TBIGOÎiOMÉTRIE.
en ayant soin de rabaisser les exposants de i au-dessous de 2, au moyen de l'équation t*=; — i, il viendra
H- ? - cos'"-
-'-^àië-'"'-'
on a donc
coswa ^ cos^i
.m™==™co
Ces formules donnent les valeurs de cosnîti et de sinmw en fonction de eosa et de sina. En remplaçant successivement sin<ï par ^i — cos^o et cosa par \/i — sin'a, on obtiendrait les expressions de cosm« et sinma en fonction de cosa ou de sinrt seulement; nous ferons connaître plus loin ces expressions, et nous nous bornerons ici à une remarque essentielle.
Les termes des seconds membres des équations (i) sont tous du degré m par rapport à sina et cosa; la première de ces équations ne contient que des puissances paires de sina et que des puissances paires ou impaires de cosiï, suivant que m est pair ou impair. La seconde équation, au contraire, ne contient que des puissances impaires de sinn, et que des puissances impaires ou paires de cosa, suivant que m est pair ou impair. On peut conclure de là :
i" Que cosma et —. sont exprîiïiables, en fonction de
CUiPITRE eiKQUlÈJIE, 200
cosa, par des polynômes entiers et rationnels, Je premier du degré m, le second du degré m — i, et dont tous les termes ont des degrés de même parité ;
2° Que cos ma et — j si m est pair, ou sinm^ et — — -— ?
si ni est impair, sont exprimables, en fonction de sino, par des polynômes entiers et rationnels, le premier du degré m, le second du degré m — i, et dont tous les termes ont des degrés de même parité.
Si, dans la formule
et l'on tire des deux équations précédentes
il est souvent utile de prendre sous cette forme les valeurs de cosma et de sinm«.
En divisantla seconde des équations (i) par la première, il
vient
siu ma
COS ma
in. m(™-,)(»-a)sbV, ,
osfi 1.2.3 COS'a '
OU
(3) tangffla=
, """'-'.«ns-,., "•'"-'"'?,"-"'-"■.<. ■-■
2o6 TttilTÉ BE IRIGOnOSËIIilE.
formule qui fait connaître taiigm« en fonction rationnelle de tangii.
Difision des arcs.
164. Supposons d'aliord que l'on demande de trouver cos — r=: X, connaissant cosa ;^ A.
Si dans la première des équations [i) du n" 163 on change a en —5 et que l'on remplace ensuite cos —■> sin —i et cosa par x^ \ji-^ x' et A, on obtiendra une équation de la forme (.) /W-A = o,
où.f[x) désigne un polynôme du degré m dont tous les termes ont des degrés de même parité. Le problème dépend donc d'une équation de degré m ; c'est ce qu'on peut établir «pz-i'on. Soit a l'un quelconque des arcs qui ont A pour cosinus; les valeurs de a seront comprises dans la formule sAtt ± or, et l'on satisfera à l'équation (i) en prenant pour x le cosinus de l'un quelconque des arcs
où h désigne toujours un entier indéterminé. Si l'on donne à h, dans l'une de ces formules, deux valeurs qui diffèrent d'un multiple de /w, on obtient deux arcs qui diffèrent d'un multiple de la circonférence et qui ont par conséquent le même cosinus; il suffit donc de donner k k, m valeurs consécutives quelconques o, i, a,.--, m — i par exemple. 11 est même inutile de considérer les deux formules, car si l'on donne à k une certaine valeur k' dans la première formule, et la valeur m — k' dans la seconde, on obtient deux ares dont la somme est égale à btt, et qui ont, par suite, le même cosinus. D'après cela, l'inconnue x n'est susceptible que de m valeurs qui sont généralement distinctes; ces valeurs sont celles des t des m arcs
CnAl'ITRE CINQUIÈME, 20'^
Ilcoiiivientdereinarquerque,sÎ7n est un nombre composent, la résolution de l'équation (i), qui est du degré m, se ramène immédiatement à la résolution de deux équations, l'une du
degré n et l'autre du degré p. Si, en effet, on pose cos - ^j-,
on aura, pour déterminer x^ une équation de degré p telle que
y étant donné par une équation de degré n,
L'équation (i) résulterait d'ailleurs de l'élimination de^ entre ces deux dernières. De même, si n était un nombre composé ijr, la résolution de l'équation ts [f) — A = o se ramènerait à celle de deux équations des degrés ^ et /■ ; et ainsi de suite.
165. Supposons, en deuxième lieu, que l'on demande de trouver sin — ::= x, connaissant sinii = A,
Si dans la deuxième des équations (i ) dun" 163 on change a en
— » et que l'on remplace ensuite sin — j cos — et sin<ï par x^
yji — X et A, on obtiendra, si m est impair, une équation dt; la forme
f{x) désignant un polynôme entier et rationnel du degré m dont tous les termes sont de degrés impairs; on voit que le problème dépend d'une équation de degré m. Mais si m est pair, on obtient une équation de la forme
oùy{:c) désigne un polynôme de degré m — i dont tous les termes sont de degrés impairs. En élevant au carré les deux membres, il vient
308 TRAITÉ DE l'RIGONOMÉTRlE.
on voit que le problème dépend d'une équation de degré zm. A la vérité, cette équation peut être abaissée au degré m au posant x^ = ^, parce qu'elle ne contient que des puissances
paires
de^.
On arrive aux mêmes conséquences par les considérations dont nous avons déjà fait usage. Si l'on désigne par a le plus petit arc positif ayant A poiu" sinus, et par A un entier indéterminé, les valeurs des x seront les sinus des arcs
Il suffit de donner à, Je, m valeurs consécutives, o, i, 2, ■ . ., m — r par exemple ; car à deux valeurs de k qui diffèrent d'uii multiple de m répondent, dans chaque formule, deux arcs qui ont le même sinus. Deux arcs d'une même formule ne peuvent avoir le même sinus tant que « reste indéterminé, car la différence de ces arcs est inférieure à ait, et leur somme, qui dépend de a, ne peut se réduire en général à un nombre impair de demi- circonférence s. Voyons si deux arcs, tels que
peuvent avoir le même sinus. La différence de ces arcs dépend de œ, et elle ne sera pas en général un multiple de la circonférence; leur somme est égale à
et elle ne peut être un multiple de la demi- circonférence si m
est pair ; donc, dans ce cas, a: est susceptible de am valeurs distinctes. Mais, si m est impair, on peut toujours, quel que soit le nombre h compris entre zéro et m, trouver un entier k' compris entre les niémes limites, et tel qu'on ait
i/.-'.-2k' -•r-i=m ou :im, c'est-à-dire
i' = HLZl — A- ou = -?'^' — A-,
yGoosle
