CHAPITRE CINQUIÈME

donc, si m est impair, ^ n'est susceptible que de m valeurs. On reconnaît aisément que les m arcs de chaque formule ont, dans le cas de m pair, leurs sinus égaux deux à deux et de signes contraires.

Le problème dont nous venons de nous occuper donne lieu aux mêmes remarques que Is précédent; il suffit de les avoir faites une fois.

166. On verrait de même que, si l'on donne cosn, la détermination de sin — dépend d'une équation du degré 2m,et que,

ai l'on donne sinra, celle de cos ~ dépend d'une équation du degré m ou du degré zm, suivant que m est impair ou pair. Enfin, quand on donne tang«, la détermination de tang dépend dans tous les cas d'une équation de degré m.

Hésolution de, l' équation hinôme z'" ~^ i .

167. Proposons -nous de trouver les racines de l'équation binôme

Si l'équation proposée admet une racine imaginaire, cette racine aura pour module l'unité (161, Corollaire III), et elle sera en conséquence de la forme cosç ■+- i sincf . Pour que cette expression soit effectivement racine, il i'aut et il sufîiL qui: l'on ait

o'est-à-dîre

A désignant un entier arbitraire. L'équation (i) est donc salis-

aïO TRAITÉ CE rniGONOMÉTBSE.

faîte par toutes les valeurs de z comprises dans la forn

Pour que deux valeurs V et k" de k correspondent à deux valeurs égales de z, il faut et il suffit (160) que la différence

des arguments — — -, ~ — - soit un multiple de air, ou, eu

d'autres termes, que k' — h" soit un multiple de m. La formule (2) donne donc m valeurs distinctes de z, et elle n'en donne pas plus de m; on oLtîendra ces valeurs en donnant à ^, m valeurs consécutives quelconques entre — - co et -[- 00 ,

par exemple.

L'équation (1) a une ou deux racines réelles, suivant que m est impair ou pair; les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux. Dans tous les cas, on obtient deux racines conjuguées en donnant à h deux valeurs complémentaires à m dans ia formule (2); car, en changeant A en nj — ^, cette formule devient

Il résulte de là que les m racines de l'équation (i) sont aussi comprises dans la formule

où il suffit de donner à k les valeurs 0,1, 2, . . . , — si m est

pair, et les valeurs o, i, 2,..., ■ si m est impair. Dans le

premier cas, les deux racines réelles correspondent à ^ = o et h ■■= —; dans le second cas , la racine réelle correspond

168. Supposons que m soit un nomb."e impair aw-Hi; l'équation s'" — i =:: o peut être abaissée au degré n. En elfet,

CHAPITKE CINQUIÈME.

i l'on divise cetLe équation par z''{z — i), il viendra

<;t si l'on pose

on trouvera aisément

Gomme on a Vo ^::= a et V, = x, on pourra, en faisant usage de la formule précédente, exprimer successivement V9, Vj, .. . en fonction de ^; on trouvera ainsi

et l'équation proposée se transformera en une équation du degré n. L'expression des racines de la proposée est

les racines de l'équation en x sont donc représentées par la formule

dans laquelle on doit donner à k toutes les valeurs i

169. Propriétés des racines de l'équatiok s'" = i.— -i" Si l'on fait

212 TilAITÉ DU TniGONOniETRIE.

on a, par la formule de Moivi'e,

par conséquent, les in racines de l'éi/iialion i être repiésentées par

c'est-à-dire par les puissances de l'une d'entre elles.

2" Si l'on SI m = np., n et p étant deux nombres premiers entre eux, on obtiendra toutes les racines de z'"=i, en multipliant les n racines de ^''= i par les p racines de z'' := i.

, „ . zAk . sinaifw . , „„

En effet, soit «^^cos t-i —une racme de z"P:=t i;

net pétant premiers entre eus, on peut trouver deux entiers | et n, tels que

d'où l'on conclut que toute racine de z"'' := 1 est le produit d'une racine de s" = i par nne racine de sf ^ 1 1 par conséquent les np racijws de l'équation z"^^^ i sont les produits que l'on obtient en multipliant les n racines de a" =^ i par les p 7-acines de zP=i.

3" La résolution algébrique de l'équation z'" ^i,où m est. un nombre composé, se ramène à la résolution des équations de même forme ajant pour degrés les nombres premiers ou puissances de nomhres premiers qui divisent m.

En effet, soit m = "/>?,- ■ ■ n, p, q,.. . étant des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers inégaux; on aura les racines de l'équation z"!" =— i en multipliant celles de z" = i par celles de s^ = i . Pareillement, on aura les racines de 3"''' = ! en multipliant celles de z"''=;i parcelles de s'--i, et ainsi de suite. D'où l'on peut conclure que les diverses ra-

OHAPITRE CINQUlËUllï. 2l3

dues de z'" =; i s'obtiendront toutes en multipliant une racine de z" = I par une racine de zf" := i , puis par tme racine de zi — i,....

Des polygones réguliers.

170. Concevons une circonférence partagée en m parties égaies, et joignons les points de division consécutifs; on formera le polygone régulier inscrit de m côtés. Si n est un nombre inférieur et premier à m, et <jue l'on joigne les points de division de n en «, ou, ce qui est la même chose, Aam — n en m — n, on ne reviendra au point de départ qu'après avoir passé par tous les sommets, et la figure gue l'on aura formée est ce que l'on nomme un polygone régulier étoile. Mais si m et n ont un diviseur commun 9, on ne passera gue par un

nombre — de sommets, et la figure obtenue sera un polygone régulier de -r côtés seulement. On voit, d'après cela, qu'il y a

autant de polygones réguliers de m côtés gue de nombres premiers à m et inférieurs à la moitié de m.

Le problème de la division de la circonférence en m parties égales se ramène à la résolution algébrique de l'équation bi-

ar on a vu gue les racines de cette équation sont données pai ï formule

D'ailleurs - — est l'arc sous-tendu par le côté du polygone

obtenu en joignant les points de division de k en A, et l'on pourra connaître en conséquence les lignes trigonomé triques de cet arc si l'on sait résoudre l'équation z" = i ,

Enfin on a vu que, si m est un nombre composé, la résolution de l'équation z"'~zi se ramène à celle d'équations de r.ième forme dont les degrés sont les nombres premiers ou puissances de nombres premiers gui divisent m; donc le pro-

'^l4 TRAITÉ nE TfilGONOStlÉTBlE.

blême de la division de la circonférence en m parties égales v. susceptible de la même simplification.

Wons allons esam.inerles cas de la division en trois, en cini en quinze et en dix-sept parties égales.

171 . Division de la circonférehce eh trois — Elle dépend de l'équation

étant la racine i, il vient

i de cette équatic : ■- on a donc

C'est la valeur du côté de l'hexagone régulier inf déduit facilement le côté du triangle équilatéral.