DlVlSIOS DE LA CIRCOUFÉREirCE LM CJÏÏQ

— EUe dépend de l'équation

étant la racine i et faisant z -1 — --— x

qui a pour racines (168)

C;;APITItE CIKQUIËHE. 2î5

On trouve d'ailleurs, eu résolvant l'équation, x = — — ^ ;

clon<î

■ JL — ~-'-^^ ■ ^ i + \/5

Ce sont les valeurs des côtés des décagones régtilîers ordinaire et étoile; on en déduirait facilement les côtés des pentagoiies réguliers ordinaire et étoile.

i73. Division be la cihconféeewce eïï quihze parties ÉGALES. — Elle dépend de l'équation

de laquelle il faut oter les racines de z" — i = o et celles de 3" — : I ^r^ o; divisant donc cette équation par ^ — — j

Enfin, si l'on divise le premier membre par z'' et que l'on pose z-\ — =3 x^ il viendra

cette équation a pour racines (168)

2jr 1\t: Sît I^tt

Ce sont, en valeur absolue, les côtés des polygones régufiera ordinaire et étoile de trente côtés.

Les quinze racines de l'équation (i) s'obtiennent en muliîpiiant les racines z^ — 1 = par celles de z^ — i =.0 {169); on en conclut facilement que les buit racines de l'équation (a) s'obtiennent en multipliant les deux racines de z^ + z -H i = o par les quatre racines de s'M-z'-i-^'^-z-Hi = 0, qu'on

2l6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

peut facilement trouver : on connaîtra donc ainsi les huit racines de l'équation (2), et, par suite, celles de l'équation (3). Des considérations fort simples perm.ettent d'ailleurs de reconnaître que l'équation (3) résulte de l'élimination dej entre les deus équations

a;'J-.rH-(j— 2.)--0. J'— J~I — O,

en sorte que sa résolution est ramenée à celle de deux équations du second degré.

174. Division de ia circoufécence en dix-sept PAiiïtES ÉcALEs. — EUe dépend de l'équation

Si l'on divise le premier membre par 3^1, el que Ton fasse ensuite s -; — = w, il viendra

(,) .r» | .^7 ^,,= (^y. , ,5^. ; ,0,^) loj^' „ 4^ + I :3=: O;

nous ferons, pour abréger,

les racines de l'équation (i) seront alors

X, =2COSlt -h 2C0s8fl -I-2C0S4'ÏH-2C0S2(Ï,

fï ^=: 2cos3û -h acos^a -^- 2cosS« -\- 2 cnsGa;

je dis que jfi ctjfa sont les racines d'une équation du second degré à coefficients entiers. En effet, on voit d'abord par l'équation (i) que l'on a

n multipliant jf^, P'irj'a, transformant les produits de cosinus eu sommes par les formules connues, et ayant égard à l'équation identique cos (17 — m)a = cosma, on trouve

XlXl-~^{^COSa -]-2C0s8n -i- 2 0054" -'' 2C0S2£l

yGoosle

CHAriTilll CINQUIÈME.

et,. à cause de l'équation fr),

jij, = — 4;

Tf «t 75 sont donc les racines de l'équation

Posons maintenant

«, =:2cos3« H-2cos5a, U3 = 2C058(Z--|- acosaa, «. — acos7û -i- 2cos6n;

puis, en multipliant «, par «3, W3 par u^ et en transformant les produits de cosinus en sommes, on trouvera

)S7(H- 2 cosSa H- 2cos6fl,

et, par conséquent,

ïl résulte de là que les quantités «i livement les raeines des équations