Lemme. — Si l'arc x croît de zéro à -, le rapport
c et h sont positifs et (jue X -[-h soit inférieur à - ■
CBAPITIIE CINQUIÈME. a45
Eli effet, si l'on multiplie la première inégalité par ■- — t
que l'on développe sîn [x -4- h) et que l'on fasse passer tous les ternies dans le second membi'e, elle devient
I — cosA /tanea? si»/A ^
cl sous cette forme on en reconnaît immédiatement l'cxacti-
, T . ■<■ t;mff^ sinA ,, , , tude, car i — cosA est posiut et — j— i est egalc-
11 faut remarquer que le rapport continue à décroître
quand x croit de - à ît; car, dans ce cas, le numérateur diminue, tandis que le dénominateur augmente.
Quant à la deuxième des deux inégalités proposées, si l'on y remplace les tangentes par leui's valeurs en sinus et cosinus, on lui donne aisément cette forme
ce qui a lieu, d'après ce qui précède.
CoR0i.i.AmE. — Sixet x-^h sont compris entre zéro et -, on a
sin^ a: ■^^ tang^
li résulte de là que, si l'on désigne par u et v deux arcs quelconques compris entre et -! — i on aura
-(-iï)<-(-=;)<-h3">
le signe ambigu it indiquant ici qu'il faut prendre la valcLir absolue de la quantité qu'il affecte.
246 TilAlTÉ DE TRIGONOMÊTniK.
i87. Le corollaire qui précède va nous donner le moyen de trouver ce que deviennent les expressions de cosx et de sin^ obtenues au n° 185, lorsque l'entier m devient infini; nous considérerons, par exemple, les formules (i) et (3), où m désigne un nombre pair, et nous multiplierons chacune d'elles parle facteur :±: i, en convenant d'employer le signe qui rend les membres positifs. Le nombre m étant supposé assez grand
pour que la valeur absolue de — soit inférieure à ~i si l'on fait usage des inégalités
dz sin — <; lîz — <; du tang — s cos — < i ,
et de celles qui sont fournies par le corollaire du cèdent, les formules (i) et (3) du n" I8S donneront
Or nous avons vu (183) que Foi
0,„ étant une quantité qui s'annule pour ttî --^ a; ; par conséquent, si l'on, désigne par e,„ et r]„^ des quantités infcr
CHAPITEE CINQUrtillK. 24?
Si maintenant on fait tendre l'entier jn vers l'infini, les quantités «m et ï],„ tendent vers zéro, et l'on aura à la limite
(».^(.-i?)(.^g)(.-fe)....
Ces formules donnent les valeurs de cosx et de sinx décomposées en un nombre infini de facteurs linéaires -, la périodicité de ces fonctions y est en évidence.
188. Formule DE Wallis. — La première des formules précédentes peut s'écrire ainsi
ou
formule remarquable due au géomètre Wallis, et qui donne la valeur de - comme limite du produit d'un nombre infini de fractions, alternativement plus grandes et plus petites que l'unité.
Décomposition des fonctions tanga; et catx en un nombre arbitraire, mais limité, de fractions.
189. Si f'{z) désigne la dérivée d'un polynôme f{z) de degré m, et que Oj, as, . . . , «« soient les m racines de l'équa-
M^ TililTÉ DE TBIGONOMÉTRIH,
tioiiy(^) := o, on sait que l'on a
en outre, si a^ et a^ sont des quantités imaginaires conjuguées, etque l'on fasse «, ^i:^ /-(cosa-i- j sina), a, ^^r(cosa: — i sina),
la somme des deux fractions , sera
Appliquons ce résultat aux deux polynômes a :'" — /•■", qui ont l'un et l'autre pour dcriyée i .ura [i 75), pour des valeurs paires de m,
et, pour des valeurs impaires de m,
CBAPITBE CIKQUIÈME.
Jj^^h
Multiplions ces quatre équations par z, et retranchons de chacune des équations résultâmes celle qu'on en déduit en permutant les lettres z et r; il viendra, pour des valeurs
et, pour des valeurs impaires de m,
TRAITÉ T»E TBIGONOHÉTRIE.
il viendra, pour des valeurs paires de n
[1 sm' — sm' i I ^ . + "1 , sm= sm' — sm= '— '- sin' - 2W m 2. m mj
et, pour des valeurs impaires de m, I îang.'; — — tang - — I — - coî —
I c<»tJ7^=; — cot —
Si l'on introduit des tangentes à la place des sinus qui figurent dans les parenthèses, on aura encore, pour des valeurs paires
taTigj; = tang 1-
tang' — - ■ — tang' —
tang'- S'^ — tang=^ <;t, pour des valeurs impaires de n \ tanga: =: tang — H | cot h
[tang' ~ — ^— -'-tang' bing' — 2/n m
ot.r = — ( cot 'r tang —\ — t
I tang' —
I tang- — ^— tang'^
- ~ f cot ^ H-
tang
„.(2-zî)i
„.ÊÎ=îh
Décomposition des fonctions X&n^x et col x en un nomhre infini de fractions simples.
ISO. H est facile de trouver ce qiie deviennent les formules (3) et (4) ou (5) et [6) do uuméro précédent, lorsqu'on y suppose infini l'entier m qu'elles contiennent. Pour plus de simplicité, nous supposerons d'abord que x est compris entre o et ~î et alors toutes les fractions qui figurent
352 THAITÈ DE TRIGOWOMÈTRIE.
dans les parenthèses des formules (3), (4)i (S), {6} scroiil positives. Nous considérerons seulement les formules (3) et (5), dans lesquelles m est un nombre pair, et nous ferons usage du lemme démontré au n" 186; on a, d'après le corollaire de ce lemme,
SI u est supérieur à c et que « et c soient compris entre o et - ■
Au moyen de ces inégalités on déduit des formules ( 3 ) et (5) du n" 189
[ tang —
- cos— I tangar — tacg -
[ cot^ -h — tani
— cot j; •+- 1 1 -[ 1 tang — !
CHAPITHE ClKQUlÈSlIi:. 253
Si maintenant on fait tendre l'entier pair m vers l'infini, les premiers raembres des inégalités (i) tendent l'un et l'autre vers la limite tangx; la somme qui constitue les seconds membres se réduit donc à une série convergente qui a aussi pour limite tangj:. Pareillement les premiers membres des inégalités (2) ont l'un et l'autre pour limite cotx, d'où il suit la somme contenue dans les seconds membres de-
encorc que 1.
vient une série convergente qui a la même limite cotx. On a
donc
Pour établir les formules (3) et (4) nous avons supposé x
compris entre zéro et - ; mais comme les seconds membres ne
font que cbanger de signe, ainsi que les premiers membres, quand on change :>; en — jc, on voit que les formules ont
lieu pour les valeurs àe x comprises entre et H — ; enfin
on reconnaît immédiatement que les seconds membres des formules (4) ne changent pas quand on cliange x en x -l~Tt; ce sont, en d'autres termes, des fonctions périodiques de x qui ont la même période que les premiers membres. Il s'ensuit que les formules (3) et (4} subsistent pour toutes les valeurs de X comprises entre — co et -i- 00 j on voit que les fonctions tanga; et cota: sont dccomposables en une infinité de fractions simples dont les numérateurs sont égaux à l'unité, et dont
354 TRAITÉ DE TEIGONOMÉTRIK.
ÎGS dénominateurs sont les binômes du premier degré qui, égalés à zéro, fournissent les racines des équations
Remarquons en terminant que chacune des deux formules (3) ou (4) peut se déduire de l'autre en changeant, dans celle-ci.
Si, après avoir divisé par a: la première des équations (3), on fait .r = o, on obtient la formule
pareillement, si l'on relranebe - des deux membres de la deuxième équation (3), que l'on divise ensuite par x et que l'on fasse :t?=o, on obtiendra, en faisant usage des formules (5) du n" 183,
et, en divisant par 4î
la coHvergence de ces séries résulte évidemment de l'analysu même qui nous y a conduit.
Décomposition des Jonctions coséc:r et sécx en un noinbri infini de fractions simples.
si donc on remplace x par - x dans les équations (4) du numéro précédent, et qu'on fasse ensuite la demi -somme des
CHiPlTRE CINQUIÈME.
ri/suluts, on aura
d'où l'on tire, en changeant x en -
Ces formules pcnvcnt encore ûîre écrites de la manière suivante :
en faisant ^ = o dans la deuxième équation (3), il vient
Développement des fonctions tangx et cota: an sévit ordonnées suivant les puissances croissantes de oc,
im. Si l'on pose
itang^.
les quantités K„ et ïi^ tendront vers zéro (u" 190J tjuand n
tendra vers l'iniiin. Or on a, par la division,
et la série contenue dans le second membre de cette formule reste convergente pour toutes les valeurs de s comprises entre — a et H-«; donc les fractions en nombre limite 'dont se compose la valeur de tangjf — R„ seront dévcloppables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a: pour
toutes les valeurs de a; comprises entre — - et H — ; pareillement, les fractions qui figurent dans la valeur de cotx — Tl'„ seront, à partir de la deuxième, développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x^ pour toutes les valeurs de x comprises entre — ir et 4-Jt-, on aura, en formant ces développer
tang.i; — R„
rious avons établi aun" Î90 que les séries
sont convergentes pour (.£ = 1; donc elles sont, à plus forte raison, convergentes pour f^ > i . Si donc on désigne par S,^ et S^,, les limites de ces deux séries et que l'on fasse
