CHAPITRE CINQUIÈME
a,^ et et',,, s'annuleront pour « = 00. Cela posé, on peut écrire comme il suit les équations (2) :
Or, si l'on désigne par a la plus grande des ijuantités a^ «'j, a'j,..., les valeurs absolues des deux sommes
seront respectivement moindres que les produits de a par les valeurs absolues des deux nouvelles sommes
Les quantités (5) sont des progressions géométriques qui sont convergentes, la première pour les valeurs de x comprises
entre et H — ^ la seconde pour les valeurs de x comprises
entre — tt et -î- tt : d'ailleurs a devient nul, ainsi que lî„ et R^ pour n = co ; donc on a à la limite
la première de ces équations subsiste pour toutes les valeurs de X comprises entre et -)■■ -5 la deuxième pour les valeurs de X comprises entre — 7t et ■+- ir.
a58 TKAITÈ Dii TRIGONOJIÉTRIE.
On a idcnticjuenient
et si l'on fait
B^ — ' ( , S- J JL ^
Remplaçant, dans les équations (6), S,^ et Q',^^ par ces ' leurs, ii vient
(tM.g^=:2=(2=-i)B,-^-- -:-.., -;-3'"^2^".-l)B„ -j^î^^H-
(9) ; f cot:c=- — 2'E.^^-...--a="lJ,. ^ ■ ■ ^ --~....
La seconde équation (g) prend une foniic plus cicga: quand on met - au lieu de a;; on obtient ainsi
(10) 1 — -cot- = E, -^ H
formule qui subsiste pour tontes le; entre — aJt et -]- ajr.
193. Les coelEeicnts Bi, Ea, Bj, . . . , qui figurent dans les formules (9) et (10), se rencontrent dans un grand nombre do questions d'Analyse ; ils sont connus sous le nom de nombres de Bernoulli. L'équation (7) donne l'expression générale de ces nombres ; mais cette expression contient la transcendante TT et en outre la somme d'une série indéfinie. Il est aisé, comme on va le voir, de déterminer successivement les nombres Bi, Bj, B3, . . . , qui sont tous rationnels.
On sait que, si deux séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes d'une variable x restent convergentes quand on réduit tous leurs termes à leurs valeurs absolues, et qu'on
CIUPITHË CiMQUIÈSlE. 25^
ordonne par rapport à :c le produit de ces deux sénés, le résultat obtenu est lui-même une série convergente; en outre, la somme de cette nouvelle série est le produit des sommes des deux premières. Cela |jose', on peut déterininer les nomires B„ au moyen de la formule (roj en multipliant celle-ci par I — cosx ou par sinx; on a identiquement
et si l'on remplace dans ces égalités i '■ cot - s s
par leurs développements en séries, on trouvera
Effectuant les produits indiqués dans les premiers membres, égalant ensuite de part et d'autre les coefficients de x^"^^ dans la première formule, et ceux de x^"+' dans la deuxième, on obtient
2(^+2) I.2...2fl
TBAITÉ l>Ë TIIIGONOMÈTBIE.
i.3..,(2n — () 1.2 1.2. ..[an
l'une quelconque de ces formules (i i) et (12) délerminera B„ si l'on connaît Bi, Bj,. . ., B„, ; par exemple, la formule (12) donnera, en faisant ra = i, 2, 3, . . . ,
équations desquelles
(jt) 27J0 b
La suite des nombres de Bemoulli est d'abord décroissante, mais à partir de B, elle devient indéfiniment croissante. Les relations (11) et (12) que nous avons obtenues ne sont pas les seules qui lient entre eux les n premiers de ces nombres, quel que soit «; par exemple, on obtient deux autres relations qu'il convient de remarquer au moyen des équations (9). Ûnaelfeotivement
tangJT.cosj: =; sina^,
