Si, dans l'équation

on remplace lang- j:: el cot- x par leurs développements en séries, il vient

(l) {;0SéC3;=-'- H-(5=— 2}B,— -h...+(2'"— 2)B„^ -h...,

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — ir et -v-n.

La fonction séo^ est aussi développable en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x^ mais

seulement pour les valeurs de x comprises entre ^ et H — ■

En eilet, les deux fonctions tanga; et coséca: étant développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes

de X, pour toutes les valeurs de x comprises entre ^ et

-\ — 5 il en est de même du produit tangxcosécx ou sccx,

d'après un théorème connu dont nous avons déjà fait usage (193). Comme la fonction séc^ ne change pas par le changement de a: en — x, et que cette fonction se réduit à i pour X TTT. o, son développement sera nécessairement de la forme

Pour déterminer les coefficients d, Cj, C3,. . ., multiplie la formule précédente par

366 TRAITÉ DE TElGONOBÉTItlE.

le prodiiit des premiers membres étant égal à i , les diverses puissances de X devront disparaître dans le produit des seconds membres. Egalant donc à zéro le coefficient de x*", il viendra

■'■■■(°— a ±iJr

formule qui déterminera C„ quand on connaîtra C,, Cj, . Cn i. Faisant successivement n=:i, 2,3,.,.,il vient

011 voit par les forraiiles précédentes que les coc sont tous des nombres entiers.

Remplaçant les coefficients îi et C par leurs valei mides (i) et (2) deviennent

C'est ici l'occasion de faire remarquer qu'on peut obtenir au moyen de la formule (i) des relations linéaires nouvelles entre les coefficients B. Par exemple, on a

i l'on remplace les lignes tri gono métrique s par Ici