CHAPITRE CINQUIÈME. 2G

eu séries, qu'on effectue la multiplication indiquée dans le premier membre et qu'on égale ensuite de part et d'autre les coefficients de x^"~^.

Nous avons établi (191) qu'on a, quel que soit :r,

Si, par la division, on développe en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x les fractions contenues dans les seconds membres de ces formules, et qu'on identifie les résultats avec les formules (i) et (2), on obtiendra

Il faut remarquer que les formules (3) peuvent se déduire de celles du n** 193, et que la première des formules (4} s'est déjà présentée à nous (191).

Des fonctions circulaires de ifariables iniaginaires.

196, Les développements que nous avons présentés dans les paragraplies précédents permettent de considérer les fonctions circulaires sous un point de vue beaucoup plus général que celui sous lequel nous les avons envisagées jusqu'ici. On voie, effectivement, que, si l'on définit les fonctions sin z et cos z par le moyen des équations

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on pourra attribuer à la variable z des valeurs imaginaires; car les séries contenues dans les formules précédentes ne cessent pas d'être convergentes, lorsque z désigne une expression imaginaire. Effective ment, une série dont les termes sont imaginaires est dite convergente lorsque les parties réelles de ses termes forment une série convergente, ainsi que les coefficients de i. En posant

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les formules (i) deviennent

sont convergentes, quelle que soit la quantité positive p ; donc il en est de même, à plus forte raison, par un tliéorème connu, des séries qui figurent dans les expressions précédentes de sinir et de cosz.

Les fonctions tanga, cots, sécz, cosécz ne sont dév^oppables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de s que dans une étendue très -limitée, lorsque z est réelle : aussi ces séries ne s auraient- elles être employées pour exprimer la définition générale des fonctions auxquelles elles se rapportent; mais il est naturel de définir celles-ci par le moyen des équations

'^"^^"" 7^7,^ COts=: -V-— ,

On voit immédiatement que les rapports et -■■ ■ ■ tendent vers l'unité lorsque la variable imaginaire z tend vers

197. A ce nouveau peint de vue, les fonctions circulaires directes ont une liaison remarquable avec les fonctions que l'on nomme exponentielles; c'est ce que nous allons développer.

27"* TRÀITJ5 DE TBIGONOIWtTWE.

Désignons par z une variable réelle ou imaginaire, et j

la série du second membre sera évidemment convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de s ; en changeant z en 2i, on aura de même

ïN-'

Les séries exprimées par y (s) et y (z,) restant convergentes quand on réduit z et 3, à leurs modules, si on les multiplie l'une par l'autre et que l'on réunisse en un seul tous les termes de même degré en z et Zj, on obtiendi'a, d'après un théorème connu, une nouvelle série convergente dont la somme sera égale à y (z) 1^(3])- Or, en faisant le produit dont il s'agit, on trouve que le terme du degré w en s et si est