J = ou

on a donc

et, par suite,

, (.),(.,)tW- -»{%-) = 7(" + •. + ». + ■ ■■ + %-.).

quelles que soient les \j. quantités z, z,, .... Si ces quantités sont égales entre elles, la formule précédente se réduit à

ti(')]'-=î(H^

donc, si \). et v sont deux entiers positifs, on a [,(d=S)]-=[,(±.)l-,

CHAPITHï CINQUIÈME.

, à cause de ç(i) ^( — i) -.-ij(o) = i,

On désigne habîtuellemenL par e la valeur de ^ (i), eii sorte que l'on a

la série par laquelle le nombre e est ainsi défini est très-convergente, et si l'on pose

R„ sera l'erreur que l'on commettra en s'arrètant au terme . On a évidemment

et, par suite,

donc si, pour calculer e, on néglige tous les termes qui suivent le [n ^- 1)'*"", l'erreur commise sera moindre que la n'^""' partie de ce terme; on trouve ainsi

D'après ce qui précède, on peut écrire

ffl ( - ) est évidemment positive , ç ( — - 1 l'est également à

a^2 THAIIÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

came de

donc, si z est réelle, la quantité çp (a) est égale à celle des valeurs de l'expression e", (jui est réelle et positive.

Ce résultat nous conduit naturellement à désigner par e", quel que soit 2, la limile de la série convergente

j l y. __ [..,; en sorte que faire la somme de cette

série, c'est élever le nombre e à la puissance z:, et, d'après la proposition que nous venons d'établir, la propriété fondamentale de la fonction e' est exprimée par la formule

qui a lieu, quelles que soient les quantités s et ^i .

Si l'on désigne toujours par i l'imaginaire ^ — i , et qut dans l'équation

on remplat

\ 1,2 1.2.34 ■■■/ ' \i '-a-S "-.-5 "'} c'est-à-dire, à cause des équations (i),

(4) j.-i=ci;!";;;";

on tire de là

Si, dans la formule fondamentale {2), on remplace z ex. z d'abord par iz et i^i, puis par — iz et — iz,, on aura

OIIAPITIU

CiKQUIÈni!.

î foni

ml» (4),

.)(co>

z, + isin^,

).= co,(z-

:) (co!

z, — ï sinzi

) = co.(.-

(co,z-.-ànz)(coBZ,-i,mz.) = co.(. +.,)-■■»«(' + '.)! en ajoutant ces deux équations et en les retranchant ensuite l'une de l'autre, on trouvt;, après avoir effectué les produits indjque's,

formules qui ont lieu, quelles que soient les quantités réelles ou imaginaires repre'sentées par z et z^. Il résulte de là que toutes les formules de la Trigonométrie générale que nous avons déduites de celles qui se rapportent i l'addition des arcs subsistent sans aucune modification, lorsqu'on substitue aux arcs des expressions imaginaires.

Si, dans les formules (a) et (6), on remplace z par .t et s, par ly, il viendra

sin(3T-!-//)™sin3;co5!jr + cos.rsinjj; mais les formules (4) et (5) donnent

y— I ■■■ ■ — . 'In.îlZ ■ ■ __ ■'=^ — '^"■^.

on a donc

/ e'^'j^: e" cosj 4- ie' sin j,

f sin(.r H- ,f) = —^ sm,« -i- t — cos.r.

Ces formules (8) ont lieu, quelles que soient les quantités x ely réelles ou imaginaires ; mais elles sont surtout utiles, pour ramener à la forme ordinaire des expressions imaginaires les ibnctions e", coss et sins, dans lesquelles s désigne une expression imaginaire x H- iy.

Trig.S. iS

yGoosle

274 TEAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

On a encore, quels que soient x et j', „„„(^ , ,.^> smi^ + ir) ; sin(^ + /7)cos(^

à cause des formules (y).

(9) tans(^-i- (/)-

Dans le cas de x = o, cette dernière formule se réduit à

. .ef — e-y

(.0) tan8,j--=.-^— ^.

198. La fonction exponentielle e* possède une propriété remarquable, qui pourrait être prise pour sa définition, et qui est exprimée par le théorème suivant :

Théouème- — Si l'on désigne par z une quantité donnée, réelle ou imaginaire, et par m un nombre entier positif, on

e==:rlini I I-+- — ) ) pour m ^ CO .

Pour démontrer ce tliéorèmc, développons par la formiile du binôme, relative à l'exposant entier et positif, l'expression

{ iH ] ; on aura, en désignant par n un nombre entier inférieur à m, mais qu'on peut supposer d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra,

K„ désigne la somme des termes, en nombre limité, qui sui-