CHAPITRE r.INQUIÈJIE

vent lo {n -)- i)'*'"", et, l'oi

-fc

Nous savons que le module d'un produit est égal au produit des modules des facteurs, et que le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties (162) ; donc le module de R„ ne peut èlre supérieur à la valeur que prend le second membre de la formule précédente, lorsqu'on y remplace z par son module p. Mais cette valeur, qui est une somme d'un nombre limité de termes, est évidemment inférieure au

module du produit de li ^(•■■(i — — — - j

somme de la progression géométrique illimitée

- par la

Le module de R„ étant iufér

-î si l'on suppose h. -(- i ^ p c au module de l'expression

si l'on désigne par 6 une certaine expression imaginaire dont le module est inférieur à l'unité, on aura

Supposons maintenant que, le nombre n étant invariable, on fasse croître indéfiniment l'entier m; les formules (i) et (2) donneront, en y faisant ns = co ,

L'équation (3) a lieu, quelque grand que soitra; si l'on fait tendre ce nombre vers l'infini, on voit par la formule (4 ) que R„ tendra vers zéro, et la formule (3) donnera

lin

Reinarqut:. — Le théorème que nous venons d'établir est susceptible d'un énoncé plus général, que l'on peut présenter comme îl suit :

Si m désigne un nombre entier positif, et que z soit une variable imaginaire fonction de m, qui tende vers la limite z^ quand m tend vers l'infini, on aura

limli-l- — I =e=», pour /»::=«),

En effet, les équations (i) et (2) ne cesseront pas d'avoir lieu si z dépend de m. Si l'on y fait m = 00 , et que l'on désigne par po le module de ^o, c'est-à-dire la limite de p, on aura

lim [ 1 + — ) =iH-- -h -^ -'r- .-H- — -hR„,

6 désignant toujours une expression réelle ou imaginaire dont le module est inférieur à i ; et, en faisant tendre n vers l'infini, on obtiendra

fini (i-h^y'=:e'«.

199. L'analogie qui existe entre les fonctions circulaires directes et les exponentielles subsiste naturellement entre les fonctions circulaires inverses et les logarithmes.

On nomme /o^a/'iV/z/jifi/ie/jeri'e?! d'une expressionioiaglnaire z = p^cosw-!-isinw) l'exposaut de la puissance à laquelle il

CHiPITIil! CIXQIOÈKE. 277

faut élever le nombre e pour reproduire p (cosw-l-ismw). Pour trouver un tel logarillime, il faut cliercher les valeurs réelles de X et àej' susceptihles de satisfaire à l'équation

^+'> = p{cos.> + :sin«), ou

e'{cosr -^ i sinr) = p {cos« -I- i sinu).

Celte équadou tient lieu des deux suivantes :

e^ cos^ = [> cosuj e' siny = p sindi,

d'où l'on tire

«^1— p, ces/ zzz cosM, siiy = sina,

et, par suite,

/f étant un entier indéterminé. Ainsi l'expression

a une iiifinité de logarithmes népériens tpi sont tous donnés par la formule

en particulier pour w = o et pour w = tt, on a

le signe l(p) est ici employé pour désigner l'ensemble de tous les logaritlimes de p, tandis que Ip désigne seulement celui de ces logarithmes qui est réel.

Lorsque s désigne une expression imaginaire, les notations arc sins, are cose, arc tatsgs, arc cota, . . . représentent toute expression imaginaire dont le sinus, ou le cosinus, ou la tangente, etc., est égal à z; ces expressions sont susceptibles d'une iniinilé de valeurs dans le cas de z imaginaire, comme dans celui de s réel : aussi, pour pouvoir les admettre comme des fonctions de s, est-il nécessaire d'ajouter quelque chose à leur définition. Nous ne pourrions entrer dans les détails que comporte cette question sans sortir des limites que nous nous sommes fixées, et nous ren-

H-jS TRAITÉ DE TKIGONOMËTRIE.

verrons pour les développements aux ouvrages dans lesquels Cauchy a traité cette matière. Nous nous tornerons ici à indiquer comment on peut déterminer les valeurs des expressions arcsïnz, arccosz,..., lorsque s aune valeur imaginaire a-\~i§. Considérons, par exemple, l'expression arc ces (ct-{- ( c) ; si l'on pose

^-h/j=:arccos(a-f-(e), il viendra

, , , __ e-' 4- t-/ er—e-J" .

on a donc

(l) — .C05^=a, Slll.C=:r— g,

d'où

et, en multipliant,

On tire de là, en observant que sin'x doit Être positif,

^^h^'-v/lH^")'^-"'

VF

extrayant les racines carrées des deux membres, et remarquant que cosjc doit avoir le signe de a, il vient

(3) oos» =