CHAPITRE CINQUIÈME
Si l'on fait, pour a
les équations (2) et (3) donneront
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble, et k désignant un entier indéterminé ; il suit de là que l'on a
arc cos(« + iS) = 2 ,f7r± {^„ + .j.)-
Dans le cas particulier de ê = o, les équations (i) donnent immédiatement sin:f:;= o ou j>' = O. En prenant/ = o, on a cosj!: = a, et cette solution ne convient qu'au cas où «est compris entre ~i et -i-i. En prenant sina':=o, on a cosx^^±i, le signe du second membre étant celxii de a ; la première équation (i) donne alors
d'où
er = i!=a-f. t/"'— I. et x = \{±a-V- -ijc,'— i). On a donc, si a. est compris entre — co et — i,
arccos«^ (3A- + i).: ^- n(- a -^ l/^^^^^), et si a est compris entre -+- 1 et -f- 00 ,
arccos«= 2^ît-4-;l(a+ \/ix'— i), k désignant toujours un nombre entier positif, nul on négatif.
Du cosinus et du sinus hyperboliques.
200. Les Tables trîgonométriques offrent le moyen de calcider coso; et sina:, quel que soit l'arc réel Jc; et si l'on avait d'autres Tables donnant les valeurs de cos ix et de sinix pour
aSo TRAITÉ IiE T11IG0KOMÉTH1E.
toutes les valeiu'S réelles de a?, on obtiendrait aisément, par les formules relatives à l'addition des arcs, le cosinus et le sinus d'une expression imaginaire quelconque x-i-ij. Des Tables du genre de celles dont nous venons de parler ont été construites effectivement; mais, voulant éviter l'emploi des imaginaires, leurs auteurs ont cru devoir introduire une notation nouvelle dont nous allons parler.
Lorsque la variable x est réelle, les fonctions cos ix et - — 7-^
sont aussi réelles ; la première est dite le cosinus hyperbolique, la seconde le sinus hyperbolique de x. On peut représenter les cosinus hyperboliques et les sinus hyperboliques par les caractéristiques cosliyp, sinbyp, placées devant la variable; alors on aura
cos hyp.>: ^ cos/.r, siiihyp,r =.- ~'-.''^,
Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique d'une variable X sont liés entre eux par la relation
coshyp'a^ — sinhyp'a: 1= i ,
sin hy n ,r cos hyp x , . t ^
Les quotients ~ — et -: — ~^ sojH dits isl tangente hyperbolique et la cotangente hyperbolique de x, et l'on a
îanghyp.j;=^^-p^, cot hyp.^= ^ ^^ .
Eulin, quand on pose coshypJC^j' ou sinhyp^:=jf, ou, etc., on écrit aussi x = arccoshyp^, oux=arcsinbypj'-, ou, etc.; on a d'après cela
arccosliyp.. = l(,r±v/^^3r^),
lire tanghypj: :r= — 1 ■ -■
II est indispensable d'avoir recours au Calcul différentiel (*) pour justifier les dénominations dont nous venons de faire usage.
Les premières Tables de cosinus et de sinus hyperboliques sont dues à Lambert; elles ont paru à Berlin en 1770; dans ces dernières années, Gudermann en a publié d'autres plus étendues et de beaucoup préférables à celles de Lambert.
Développement des fonctions log(i-l-3} et arc tangz en séries ordonnées, suivant les puissances croissantes de s.
201. La méthode que nous allons employer pour obtenir les développements en série des fonctions log (i -I- z) et arctangs suppose !a formule du binôme pour un exposant fractionnaire. Afin de ne rien laisser à désirer à l'égard de la
(') Si l'on rapporta un oflrcle donl le rayon esl pris pour unité k deuï aies rectangulaires coordonoéfl, dontl'iin, celui des abscisses, passa par l'oti(;ine des arcs, l'obscisse ot l'ordonnde d'un point M de la circouférence seront le eostnos et le sinus de l'arc compris entre l'axe des abscisses et le point M, ou, si l'on vent, le cosinus et le sinuB du donWe de l'aire du secteur correspondant ù. l'are donl il vient d'être question. Et, de même, si l'on rapporte h. ses axes une hyperbole ëquilatère dont le demi-axe est pris pour unité, l'abscisse et l'ordonnée d'un point M de cette courbe seront le cosinus hyperbolique et le sïuus hyperbolique du double de l'aire du secteur compris antre l'axe deâ abscisses et le rayon qui joint le point M au centre de la courbe.
En effet, le demi-aie de l'hyperbole éqnilatère étant pris pour unité, l'abscisse ê, supposée positive, et l'ordonnée ij salisfont à l'équation |' — 11'=: i i en soete que Ê et ij sont nécessairement !e cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique d'une certaine variable x. On peut donc poser
^ = cc
lahypj: — 1 iî = sinhypj:^
on déduit de la, p.
ar les rÉfjles du Calcul différentiel,
d'où
On voit par là que
■ a: est oiTcclivenient le double de l'ai cisses positives et le rayon qui joint le
re du
6 de la 1
■ compri !OUrbe ai
201 TRAITfi DE TRIG0NOM]5lRIK.
théorie que nous présentons dans ce Chapitre, nous commencerons par établir ici cette formule.
Formule nn binôme. — Désignons parwime quantité réelle quelconque et par z une quantité réelle ou imaginaire dont le module soit inférieur à i ; la série
se réduira à une somme d'un nombre fini de termes si n est un entier positif; dans tout autre cas, elle contiendra un nombre illimité de termes, mais elle sera toujours convergente; car le module de z étant plus petit que i , par hypothèse, le module
du rapport ■ ~ 3 du (ja -I- ij'*'"" terme de la série au p.''""
restera inférieur à tme fraction moindre que i pour toutes les valeurs de fj. supérieures à une certaine limite.
Cela posé, z étant considéré comme constante, et n comme variable, désignons par f («) la somme delà série; on aura
et, en changeant n eu n,^
Si l'on multiplie f{n) par 91 («i), et que l'on ordonne le produit par rapport à s, on trouvera, en faisant usage de la formule (i) du n" 180, que le coefficient de z^ est
d'où il suit que l'on u et, par suite,
yGoosle
CHAPITEE CIKOUIÈiBE. 203
71, Wi, Tîj. . . . , Hn, étant des nombres quelconques. En supposant ces nombres égaux entre eux, on obtient
U résulte de là que, si fA et y sont deux entiers positifs, on a
car chaque membre de cette formule est égal, d'après ce qut précède, à ç{±p). Or on a
donc
par conséquent œ { ± - J est l'une des valeurs de l'expression {i H- 3) ', et c'est dans ce sens que l'on peut écrire
202. Développemejst de la eomctiois log(H- s). — Désignons par s une variable réelle ou imaginaire dont le module soit inférieur à i ; d'après ce qui précède, si m représente un entier positif, la série
est convergente, et sa puissance m''^"" est égale à i -i- z. Si donc on désigne par i -I la somme de cette série, on aura
TriAITÉ DE TRIGONOHÉTRIE.
Les coefficients iiuinériqucs delà somme entre parenthèses sont tous inférieurs à i ; par conséquent, si l'on représente par p le module de z, le module de la somme dont nous parlons sera
inférieur à i -J- p -h p^H-- - - , c'est-à-dire inférieur à ——:
la somme elle-même pourra donc être représentée par >
en désignant par S une expression imaginaire dont le module est inférieur à i. D'après cela, l'expression de u sera
-^-•y (.-;)(--i)-(."i)£=Tr^-
Faisons tendre maintenant l'entier m vers l'infini et désignons par Un la lîaiite de u. L'éijuation (i) donnera d'abord, d'après le théorème démontré au n" 198,
et l'on aura ensuite, par l'équation (a),
CHAl'ITHl! CINQUIÈME. a85
9 désignant toujours une expression imaginaire dont le module est inférieur à i . Enfin, comme — — lead vers zéro, quand n tend vers l'infini, on aura à la limite, pour ;; = co ,
D'après la formule (3), la quantité «o exprime l'un des logarithmes népériens de i 4- s, et c'est dans ce sens que l'on peut écrire
Unequantité positive n'a qu'un seul logaritlime réel; si donc a se réduit à une quantité réelle zh x comprise entre — i et -1- i , on aura pour les logarithmes réels de i H- jc et de i — jc,
203. Hevcnons à la formule (6) et posoni On tire de ces deux équations
(y) .= ..^, + ,,pc«s.-l-p",
et
fio) cosa-, '^P*^"^" , sin9 = P^5i^, taiigO = -P -- '"" — . r r I -i- p cosw
Les quantités js et w étant données, l'équation [9) déterminera sans ambiguïté le module /■■, quant à l'angle â, il sera aussi complètement déterminé par les équations (10), si on
286 TRAITÉ BE ïnifiONOaÉTRllî.
l'assujettit à rester compris entre les limites — it et -+- T. Mais, parce que le module p de z est inlerieur à i, on voit par les éqiiations (lo) que cosS est toujours positif, et en conséquence l'angle 9 demeurera compris entre les limites — - et -1 — ; cet angle sera donc déterminé sans amtiguilé par la
troisième équation (lo) qui fait connaître sa tangente.
Cela posé, l'expression générale des logarithmes népériens de I -;- z est
i{l-^z) = l{re") = lr + i{S^^9.l:^),
h étant un nombre entier ; par conséquent, la formule (6) donnera, pour une valeur convenable de A,
Le second memLre de cette équation s'annule pour p = o ; il en est de même des quantités Ir et 9; celles-ci sont d'ailleurs des fonctions continues de p : donc le nombre entier h est nécessairement nul, et l'on a
Si l'on égale séparément les parties réelles et les. coefficients de I, que l'on remplace en même temps /■ et 6 par leurs valeurs tirées des équations (9) et (10), on aura
et il faut se rappeler que le premier membre de l'équation ( 1 3)
doit être pris entre les limites et -i — «
Si, dans les formules (12) et (i3), on change m en tt — w.
