CHAPITRE CISQUlliME

il viendra

(i4) 1 \/T^Iicos«-V-f--.^ — "-^ — L^

Ces formules (ta), (i3), {i4) et (ï») sont fréquemment employées en Astronomie et en Géodésie.

Remarque. — Il est très-important de remarquer que la formule (4) donne l'expression du reste delà série dans laquelle se développe l(n-s). Par exemple, si l'on S'ait n = o dans celle formule, il vient

ou, ce qui revient au même,

6 désignant toujours une expression imaginaire dont le module est inférieur à i.

204. Développement de l'arc eh série ordokhée suivamt LES PUISSANCES DE LA TAKGBHTE. — Lcs sérics coutenucs dans les formules (i3) et (i5) sont convergentes, quel que soit to, pour toutes les valeurs de p inférieures à i ; si l'on fait, dans la formule (i3),

(,,) a,xl.,ng.=---3+j---:-,..,

formule qui a lieu pour toutes les valeurs réelles de z comprises entre — i et + i . Le premier membre doit être pris,

comme on l'a vu, entre les limites et H — » et alors il

sera nécessairement compris entre — 7 ^^ "

288 TRAITÉ Dl! TRIGONOMÉTRIE.

la fonnuîe (17) se Iraiisforine dans la suivante

(IB^ ^— — - g -H- ^ ....,

qui subsiste pour toutes les valeurs de x compi'isus uuire

On a identiquement

arc tangî + arc taiig - —z:Z~-,

en prenant les arcs entre les limites — - et + - et en donnant au second membre le signe de^; d'après cela, si l'on cliange z en - dans la formule (17), on aura

(19) arctangz =± ^ - -^ + .--^ - ^^ -;-,...

Cette nouvelle formule subsiste pour toutes les valeurs de z comprises entre — qo et — i ou entre 4- t et H- « ; le premier

membre doit toujours être pris entre les limites et -i — ■

En faisant z = ta.ngx, on obtient

formule qui subsiste pour les valeurs de x comprises entre

Remarijue. — L'analyse qui nous a conduit à la formidc ( 1 7) suppose essentiellement que la valeur absolue de z soit inférieure à i; mais, comme la série du second membre reste convergente pour les valeurs limites rh 1 , la formule subsiste pour ces valeurs. En effet, supposons que dz z tende vers l'unité par une série de valeurs successives inférieures à i, les deux membres de la formule (17) seront égaux pour toutes ces valeurs ; d'ailleurs chacun d'eux tend vers une limite déterminée : donc ces limites sont nécessairement égales.