D.0EcosD0E=r (Ôd'— Âd')+ (oÊ*— IÊ') -f-2AD.AEcosDAE

ou

séc 6 sécc cos« = I -4- tang 6 tangc ces A,

ou enfin, en multipliant de part et d'autre par cosA cosc,

cosa = ces 6 cosc H- sia6 sine cosA.

Telle est la relation qui existe entre Fangle A et les trois côtés..

109. Nous avons supposé les côtés ft et c inférieurs à 90 degrés, mais la formule que iMms avons obtenue est générale. En effel, supposons d'abord c ]> 90**, mais h < 90®, et pro-

Fig. 29.

longeons les arcs de grand cercle AB et BC {fig- ap) jusqu'à leur

l4o TRAlTfi DB TRIGONOMÉTRIE.

rencontre en B'; si Ton fait AB'= e', CB'^= a', le triangle A B'C donnera

cosa' = cosôcosc' -+- sïab sinc'cosB'AC,

car les côtés c' et b sont moindres que 90 degrés. Remplaçant a\ c/ et B' AC par leurs valeurs 1 80° — a, 1 80° — c, 1 80® -t- A, et changeant les signes des deux membres^ on a

cosa = cos^ cosc -4- sinô sine cosA,

ce qui est la formule obtenue au n** i08.

Supposons maintenant b'^go^^ c^O^^-i et prolongeons

Fia. 3o.

fA-—

les côtés AB et AC {fig* 3o) jusqu'à leur rencontre en A'; si Ton fait A'C = b\ A'B = c\ le triangle A'BC donnera

ces a = cosô'cosc' -f- sin^'sinc'cosA',

et , en remplaçant &', cf et A' par leurs valeurs 1 80° — é, 180** — c, A, on retrouve la lorniulc

cosa z=z cosb cosc -^ sin b sine cosA.

Enfin, comme celle-ci a lieu, quelque petits que soient les compléments de b et de c, à 90 degrés, on peut en conclure qu'elle subsiste encore à la limite, lorsque Tun des côtés b et c, ou tous deux, deviennent égaux à 90 degrés.

De la formule qu'on vient d'établir on déduit deux autres formules semblables par de simples changements de lettres. On a ainsi les trois équations

( cosa =^ cosb cosc H- sin^ sine ces A,

(i) < cos^ = cosfl5cosc -f-sinasinc cosB,

[ cos e = ces a cos6 + sina sin 6 ces C.