CHAPITRE QUATRIÈME. J^l
qu'on doit regarder comme les formules fondamentales de la Trigonométrie spliérique. Il ne saurait exister, en eflbt, entre les éléments d*un triangle une relation distincte des précédentes^ car, autrement, en éliminant les angles A, B, C à Taide des formules (i), on obtiendrait une relation non identique entre les trois côtés, ce qui est absurde. Mais on peut des relations (i) déduire plusieurs autres formules qu'il est indispensable de connaître, et que nous allons établir.
HO. Relations ektre deux côtés et les angles opposés. — Pour avoir une relation entre les côtés a, b et les angles
A, B, il sufQt d'éliminer c entre les deux premières des équations (1)5 cette élimination se fait d'une manière très-simple, en introduisant dans les équations (i) les sinus des angles A,
B, C à la place des cosinus.
La première des équations (i) donne
cosa — cos^cosc
ces A = r—r-- 9
sm«^sinc
d'où
sin'^ sin*c — (cos<7 — cosécosc)*
sin*A = 1 — cos'A =
sin'6 siii'c
(i — cos'^) (? — cos'c) — {cosa — cosb cosrj*
sin**^ silice
-I — cos^a — cos*^ — cos'c -f- 2 cosû cos^ cosc sin'6sin*c
et, par conséquent,
sin'A T — cos^a — cos'^ — cos^c -f- 2 cosû cos6 cosc
sin^a sin'«sin^6sin*c
sin'A Cette valeur de . ^ ne change pas quand on permute les
lettres a, &, c^ il en résulte que les équations (i) donneront
I iL 1 sin'B sin'C , ,,,
la même valeur pour . et pour -; - ^ par conséquent 1 e-
limination que nous avons en vue se fait d'elle-même. Enfin, comme les angUîs et les côtés d'un triangle sont moindres
l42 TfiAlTÉ DB TRIGOMOMÉTRIB.
que i8o degrés, leurs sinus sont positifs, et l'on a sinA sinB sinG
^ ' sma siaé sid<?
ibrmule qui exprime que, dans tout triangle sphérique, le sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.
m. Relatioi?s entre cinq éléments. — On obtient des relations très-utiles entre cinq éléments en prenant la valeur du cosinus par rapport auquel est résolue Tune quelconque des équations (i), et en substituant cette valeur dans les deux autres équations. Par exemple, si Ton porte, dans la première des formules (i), la valeur de cosc tirée de la troisième, il vient
cosa = cosa ces' 6 -f- sina sin 6 cosb cosC -h sin b sine cos A ;
faisant passer dans le premier membre le premier et le deuxième terme du second membre, remplaçant 1 — cos*i par sin*è et divisant ensuite par sine, il vient
cosasin^ — sinacos6cosC = sine cos A,
et l'on obtient cinq autres formules semblables par des permutations de lettres, de sorte qu'on a le système suivant ;
cos a sin h — sinû cos b cosC r:= sin c cos/. , cos b sin ti — sin b cos a cos C = sin e cos C , cos è sine — sinôcosccosA :i^ sinacosIJ, cos c sin 6 — sin c cos b cos A := sma cos C, cosc sin a — sin c cosa cos B =:: sin è cosC, cos a sine — sin a cosc cosB '.=. sin 6 cos A.
Ces six relations sont homogènes par rapport à sin a, siaJ^ sine 5 on peut donc remplacer ces sinus par les sinus proportionnels sin A, sinB, sinC, et Ton obtient ainsi les six nou-
CBàPITRB QUàTailÏME. ti^d
velles formules suivantes :
cosa sinB — cosb cosC sin A = cosA sin C cos^ sin A — cosa cosC siaB -^ cosB sinC, cosb sinC — cosc cosA sinB :=z cosB sinA, COSC sinB — cosb cosA sinC = cosCsinA, cosc sinA — cos« cosB sinC z=z cosC sinB, cosasinC — cosc cosB sinA = cosA sinB.
M2. Relatiojvs entre deux côtés, l'angle compris par CES CÔTÉS ET l'angle OPPOSÉ A l'un D*Et)X; — On obtiendra Tune des relations dont il s'agit en prenant deux des équations (i) et en éliminant entre elles le côté opposé à Tun des angles qui y Ggurenl; mais, comme ces deux équations renferment à la fois le cosinus et le sinus du côté en question, on simplifie le calcul, en faisant usage des formules (2) qui permettent d'éliminer successivement le cosinus et le sinus.
La première partie de cette élimination a été effectuée au n° 1 1 1 , et, pour obtenir les relations cherchées, il ne reste plus qu'à éliminer le sinus qui figure dans le second membre de chacune des équations (3) au moyen de celle des formules (2) qui ne contient que les mêmes éléments. Par exemple, si l'on divise la première équation (3) par
sine sinA smC il vient
cot a sin b — ces b cos C = cot A sin C ;
c'est l'une des équations cherchées, et l'on peut en déduire les cinq autres par des permutations de lettres. On a ainsi le système
/ cola sïnb — cot A sinC = cos 6 cos C,
cot ^ sin ^/ — cotB sind = cos a cos C, colb smc — colB sinA = cosc cos A, cote sin^ — cote sinA == cos 6 cos A, cote sin û — cote sinB r- cosa cos B, cota sin c — cot A sin B ■:= cos c cos B.
l44 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
H 3. Relations entre un côté et les trois angles. •— On obtiendrait une relation entre a, A, B, C en éliminant J et c entre les formules fondamentales (i); mais on arrive beaucoup plus facilement au même résultat en faisant usage des formules (4). Ainsi, en éliminant cosi entre les deux premières équations (4), on trouve la formule
cosA = — cosB cosC -h sinB sinC cosa;
on en déduit deux autres formules semblables par la permutation des lettres, et Ton a ce dernier système
( cosA =r — cosB cosC -f- sinB sinC cos^7,
(6) \ cosB =: — cosAcosC -f- sinAsinCeos^,
( cosC = — cosA cosB -h sinA sinB cosr.
Remarque. — Les équations (i), (a), (5), (6) ne renferment chacune que quatre éléments^ elles sont au nombre de quinze, nombre qui est celui des combinaisons de six lettres quatre à quatre.
Du triangle supplémentaire.
H 4. On sait qu'à chaque triangle sphérique correspond un second triangle qu'on nomme triangle polaire ou supplémentaire. Les sommets de l'un des deux triangles sont respectivement les pôles des côtés du second, et les angles de chacun d'eux sont les suppléments des côtés de l'autre.
La considération du triangle supplémentaire est souvent utile dans la Trigonométrie sphérique. Par exemple, les formules fondamentales (i) du n° 109 ayant été obtenues, si on les applique au triangle supplémentaire du triangle proposé, on obtiendra immédiatement les formules (6) du n° 113. Il suflBra effectivement pour cela de remplacer, dans les premières formules, a, è, c, A, B, C respectivement par i8o^— A, i8o° — B, i8o" — C, iSo" — a, iSo^'—b, i8o° — c.
Pareillement, on obtient les formules (4) du n° 111. en appliquant les formules (3) au triangle supplémentaire. Quant
