CHAPITRE QUATIIÈMB
aux autres systèmes que nous avons obtenus, ils ne conduisent à aucune formule nouvelle.
Nous présenterons encore ici un exemple des avantages qu'on peut tirer de la considération du triangle supplémentaire.
Désignons par/: le rapport constant qui existe entre le sinus d'un angle d'un triangle sphérique et le sinus du côté opposé. On a trouvé (110)
I — cos^a — cos'6 — cos*r •+- 2cosa cos^ cosc
sm»asin*6 sin^c
relation que l'on peut écrire comme il suit :
2 cos« cosb cosc = [A* — i) siii'a sin'ô sin'c
-4- cos'a (i — sin*6 sin'c) 4- cos*b cos*c;
tous les termes du second membre de cette formule sont positifs si l'on a
et il en résulte cette proposition :
Théorème I. — Si, dans un triangle spliérique, la valeur
, sinA sinB sinC
commune des rapports —. — ? -: — r» -: — est supérieure ou ' ' sma smo sine '^
égale à l'unité, les trois côtés sont inférieurs à go degrés, ou
un seul côté est inférieur à 90 degrés.
Appliquant ce théorème au triangle supplémentaire, on obtient le suivant :
Théorème II. — Si, dans un triangle sphérique, la valeur
j sinA sinB sinC . /., .
commune des rapports -. — » -: — r> -: — est intérieure ou '^'^ sma smb sine '^
égale à i^ les trois angles sont supérieurs à 90 degrés, ou un
seul angle est supérieur à 90 degrés.
Formules relatives aux triangles rectangles.
115. Lorsqu'un triangle sphérique n'a qu'un seul angle droit, le côté opposé s'appelle hypoténuse,
Trig. s. 10
l46 rRÀlTÊ DE TRIGOMOMÊTllB.
En faisant Thypollièse A = 90 degrés dans celles des formules des n*»" 109, 110, H2 et 113 qui contiennent Tangle A, on obtient les suivantes, qui sont particulières aux triangles rectangles :
(1) COSfl rrr COS^COSC;
sin bz= sinasinB,
smc r=r smasmC;
tang^ = tanga cosC,
tangc^tangacosB,
' tang ^ =r sin c tang B,
tangc — sin ^ tangC ;
ICOSfl r-r cet B cote, cosB = cosfesinC, cosC = coscsinB.
Ces dix formules ne contiennent chacune que trois éléments^ leur nombre est précisément celui des combinaisons de cinq lettres trois à trois.
L*équatîon (i) exprime que :
Dans un triangle sphérique rectangle, le cosinus de V hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés-
n en résulte que les cosinus des trois côtés sont positifs, ou que deux d'entre eux sont négatifs -, par conséquent.
Dans tout triangle sphérique rectangle, les trois côtés sont moindres que 90 degrés, ou bien un seul de ces côtés est moindre que 90 degrés.
Les équations (2) expriment que :
Dans tout triangle sphérique, le sinus de Vun des côtés de rangle droit est égal au sinus de Vhjpoténuse multiplié par le sinus de l'angle opposé.
Les deux premières équations ( 3 ) expriment que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, la tangente de l'un des côtés de l'angle droit est égale à la tangente de l'hypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle adjacent.
CIU PITRE QUATRIÈMB. l47
Les deux dernîères équations (3) expriment que :
Dans tout triangle sphérique rectangle, la tangente de l'un des côtés de l'angle droit est égale au sinus de l'autre côté multiplié par la tangente de l'angle oppose au premier côté.
U en résulte que la tangente d'un angle oblique est de même signe que la tangente du côté opposé \ par conséquent, ce côté et cet angle sont tous deux plus grands ou tous deux plus petits que 90 degrés.
La première des équations (4) exprime que ;
Dans tout triangle sphérique rectangle, le cosinus de V hypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques.
Enfin les deux dernières équations (4) expriment que .
Dans tout triangle sphérique rectangle, le cosinus d'un angle oblique est égal au cosinus du côté opposé multiplié par le sinus du second angle oblique.
116. Les formules précédentes peuvent être transformées en d'autres formules qui sont utiles pour le calcul, et que nous allons établir.
La formule (i) donne cosc = 7 ; on a d'ailleurs
^ ' cos b
— cosc tang-
2 V I -t- cosc
donc
I /cosb — cosfl ^ / \, ~ i~ T»
tang - c r= -+- i / — ; = + 1/ ^ûg -(a^b) tang - /i -4- W ;
on peut donc à la formule (i) substituer Tune des deux suivantes :
tang i c = H- i/tang - (a — 6) tang - (a -H b),
tang - ^— 4- i/tang - (a — c) tang - (a -h c).
l48 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
La pre
d'ailleurs
La première des formules (2) donne slno=:i^ -:— - ; on a
donc
(,*. I \ , /i 4- sina
on peut donc aux formules (a) substituer la double formule
Et, comme les formules (2) restent les mêmes, Tune quand on permute les lettres a et B, l'autre quand on permute les lettres a et G, on a aussi
"»«{4»-J»)==-\/3i!?li'
La première des formules (3) donne cosC = — —\ on a
d'ailleurs
I ^ /i — cosC
tang - C — -f- 4 / •
° 2 V I H- cosC '
donc
2 y tanga -f- tango y sm(a
on peut ainsi, aux deux premières formules (3), substituer les deux suivantes :
I ^ /sin(a
tang-C = -t- i/-^-^ ,^ g ; 2 y sm(a-hb)
I ^ /sin(a
° 2 y sm (a
La troisième des formules (3) donne sine = — 2 . on
* ' tangB
