CHAPITRE QUATRIÈME

DEUXI^HB MÉTHODE.

[Emploi des formules (8) et (9) du n° 124.]

TYPE DU CALCUL

ip 67*39' i4', 025

{{p-a) II» 7'45',7o5

i(p-c) 3o»ii'58',495

Calcul de Vexcès sphérique «.

logtang;/? o,386o84o

\ogim%\(p—a) 7,2938583

logtangK/?— 6) T, 6944058

logtang-i(/? — c) 1,7649261

logtangl* 1,5696371

« 8i*27'53',oo

Calcul de l'angle B.

logtangK/?— «) 1,2938583

logtang{(;7 — <•) 1,7649261

logcotj(/? — ^) 0,3055942

iogcoty/? T,6i39i6o

>ogtang(iB-|s)... 1,4891473

logtang^/? o,386o84o

logtang|(/?- û) .... 1,2938583

logtangi(/?~^) .... î, 6944058

logtangi(/? — c) T, 7649^^61

Calcul de P angle A.

logtangK/?-^) .... ï,6944o58

logtang{(/? -c) . . . . 1,7649261

\o%coi\[p'—a) 0,7061417

logcoti/? 1,6189160

logtang(iA-i«) . . . 1,8896948

iA-i£ 37«48'2',87

jA 58»io'i',i2

A Il6»20'2',24

Calcul de l'angle C.

logtangi(/?--fl) 1,2938583

loglang-H/? — ^). . . . ï, 6944058

logcoi^lp—c) 0,2350739

logcoti/? ï,6i 39160

logtang({C — |s).... 1,4186270

iC-U i4Mi'3i',34

iC 35» 3'29'',59

f^érijication :

i.-1-(4A-i.) + (-;B-|.) + (iC-|.) = 90»o'o'',oi; ^rreia- sur l'ensemble : o", o i .

176 TRAlTà DE TRIGONOHÉTHIB.

Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés ay^ec l'angle compris, ou deux angles av^ec le côté compris,

145. Première méthode. — Lorsqu'on a besoin de calculer les trois éléments inconnus, on obtient la solution la plus simple du problème au moyen des formules de ÎVéper, savoir :

1) tang- A-f-B)=cot -C f^ M

^ ' ^ 2 ^ ' 2 cos|(a -h h)

I / . «X ï ^ sin~(a — b) (2 tang - A — B) =: col - C -^f^ -{.

ti\ * ' / . A\ . ' cos|(A — B)

i r\ ï / y\ I sin-^(A — B)

(4) tang- (a ~ ^)~tang-c '^ '

2^ ' ^2 sini(AH-B)

Si les éléments donnés sont a, b et C, on calculera d'abord A et B au moyen des formules (i) et (2)5 on calculera ensuite c au moyen de Tune quelconque des formules (3) et (4).

Si, au contraire, les éléments donnés sont A, B et c, on calculera a et i par les formules (3) et (4), et ensuite C par Tuue quelconque des formules (i) et (2).

Remarque I. — Le calcul des éléments inconnus A et B ou a et i exige la recherche de cinq logarithmes^ il faut ensuite deux nouveaux logarithmes pour obtenir l'inconnue c ou C.

Remarque IL — Les données étant supposées comprises entre zéro et 180 degrés, le problème admet toujours une solution unique.

146. Deuxième méthode. — On peut encore résoudre le problème proposé en faisant usage des formules établies aux n"' 109 et suivants, et qui permettent de calculer directement < haque inconnue indépendamment des deux autres.

Si les éléments donnés sont a, i, C, les formules qui déter-

CUAPITRS QUATRIÈME. 177

usinent les inconnues sont

cola sinb — cet A sinC = ces b cosC,

(i) ^ cot6sin^z — cotBsinC = cos«cosC,

COSC = cosa cosb + sina siab cosC.

On calculera, comme il a été dit au n? H8, deux angles auxiliaires tp et ij/ compris entre zéro et i8o degrés, et tels que

(?) tang 9 = tanga cos C, tang^I/ = tang ô cos C ;

les deux premières formules ( i ) deviendront alors

/ov A 8in«tongC ^ sin^J; uncC

<3 tangA=: . ; ^ , , taLngB= ^ 5.

° sin(6 — y} ° sm{a — ^)

L'un quelconque des angles auxiliaires y et ^ peut servir pour le calcul de c-, car la troisième équation (i) donne, en se servant des formula (2),

, ,. cosa cos(h — ç) cosb cos(n — -if)

(4) COSC =:: ^ -i COSC =. . —•

' cos y COSiJ'

Il peut arriver que le côté c soit mal déterminé par son cosinus ; dans ce cas, on calculera d'abord A ou B et Ton pourra obtenir ensuite c au moyen de sa tangente^ effectivement, si Ton divise respectivement par les équations (4) les deux

formules

sin/zsinC . sin^sinC

sine = — ; — . — et sine == p-— — ,

smA sinB

il viendra, en ayant égard aux formules (2) et (3),

.^, tanefô — «) tanff(a — iL)

Si les éléments donnés sont A, B, c, les formules qui dé terruinent les inconnues sont

Icota sine — cot A sinB m cose cosB, cot^ sine — cotB sin A = cose cos A, cosC = — cosA cosB -}- sin A sinB cos r;

inS TRAITÉ DE TRltiONOMÊTRlE.

on calculera deux angles auxiliaires cp et tj^ compris entre zéit) et i8o degrés et tels que

(2 bfs) tangç =: — tang A cosc, tangip = — tangB cosc,

et les deux premières équations (i bis) donneront

,^ ... sin»tangc , simL tano^c (3 bis) tang«=: ^-^ — ^,, tango = ^^ ^.

^ ^ ^ sm(B — y) ^ sin(A — t|,)

La troisième équation (i bis) donne aussi

,,,.v ^ cosAcosfB — ç) ^ cosBcosfA — >I»)

l^bis) COsC—- ^^ -^ C0SC= \ ^y

cosy cos>I»

et en combinant ces équations avec les formules

. ^ sincsinA . ^ sinrsinB

8mC= — ï 9 8inC = 7—, — 9

sma sin6

il vient enfin

' ^ cosa ° ces 6

Il faut remarquer que les formules (i bis)^ (2 bis)^ (3 iw), (4 ii.î), (5 iw) se déduisent des formules (i), (2), (3), (4)7 (5), en remplaçant dans celles-ci A, B, C, a, i, c par les suppléments de a, i, c, A, B, C et y, ^ par leurs suppléments. Les deux triangles que nous venons de considérer sont effectivement supplémentaires.

Remarque. — Quand les éléments donnés sont a, i, C, le calcul du seul angle A ou B exige la recherche de cinq logaritljmes, comme l'emploi de la première méthode. Le calcul du côté c par Tune des formules (4) exige également cinq logarithmes 5 mais, lorsqu'on n'a besoin que de ce seul côté, la deuxième méthode doit être préférée à la première. Il en est de même quand les éléments donnés sont A, B, C5 l'emploi de la méthode précédente n'offre d'avantages qu'à l'égard de Tangle C, dans le cas où Ton ne doit calculer que ce seul élément.

147. Troisième méthode. — La méthode dont nous allons parler se rapporte exclusivement au cas où l'on ne veut cal-

GflAPITRE QUÀTRIÈUE. 1 79

culer que la seule inconnue c ou C. Dans la solution précédente, on a recours, pour cet objet, à Tune des formules (4) ou (4 his)^ qui déterminent Télément inconnu par son cosinus. Il peut arriver que cet élément ne puisse être obtenu de cette manière avec précision, et alors il convient d'opérer comme il suit :

Si Tineonnue est c, l'équation qui la détermine peut s'écrire ainsi :

cosc = cos(a — b) — 2 sin^ sin^ sin*- C,

sin' -cz= sin' - (a — 6) -f- sina sinb sin* - C: 2 2 ^ ' 2

si donc on calcule un angle auxiliaire &> tel que

eîn J.

sin^C

tangw = - — r-T-^ 7-r usina sinb,

sm|(flf— b) "

on obtiendra ensuite c par la formule

. 1 sin-^(a — b)

sm - c = — ^ ^ .

2 cosc>>

Si l'inconnue est C, on a

cosC = — cos ( A 4- B) — 2 sîn A sinB sin' - c

sin^ - C = ces' - (A -f- B) -4- sin A sinB sin* - c; 2 2 ^ ' 2

on calculera donc l'angle auxiliaire « par la formule

sin^^c /-: — : — ;— ;r

tangw= r-T— — — r vsmAsmB,

^ cosl(A + B)^

et l'on aura ensuite C par la formule

. I , cos{(A-hB) sm - C =-• — •

2 COSCi)

Remarque. — Cette troisième méthode n'exige, comme la Pt*€^cédeute, que cinq logarithmes pour le calcul de c ou de C-

l8o TRAITE DE TRIGONOMÉTRIE.

148. Exemple. — On donne les côtés a, b et l'angle corn* pris C, savoir :

et Von demande de calculer les angles A, B et le côté c.

TYPE DU CALCUL

•(a— é»).....*.... i5*»ii'44",'a

97°5i'i2",52 iC 69*^25' 6",845

Calcul de {(k-^'Q).

,cos|(a--^)

tang^(A-HB) = co4C

co^\[a-hb)

logcot^G T, 5746163

logcosj(/z — ^) 1,9845439

—log — cos^a-+-6). 0,8644213

log — tang j (Ah- B). . o,42358i5

HA-+-B) iio*»39'35',29

Calcul (les angles X et B,

;(A-hB) iio«39'35\29

HA-B) 5"4o'26^9I

log— cos^(A-i-B).

Iogcosi(A — B)...

logsini(fl — ^) 1,4184917

\ogcos\(a-b) 7,9845439

logsin^ (a -j- é») T ,9959074

log— cos^(fl-H^) ... 1,1355787

logcot^C ï, 5746163

Calcul de \{X — B).

U,.s.,»-B|-„iC^lig=|j.

logcot^C T, 5746163

\og8\n\(a — b) 1,4184917

— logsin|(a-i-^)... 0,0040926

log tang j (A — B) . . . 2 , 9972006

Calcul du côté c,

I * 1/ ,,cosi(A-i-B) tangic = tangi(.-^A)-|j-^--3J.

log sin i(/7 -h ^) 1 ,9959074

— log--cos|(flH-Z/ . o, 8644213 log — cos j(A -H B) . . ï, 5475513

— logcos|(A — B) .. o, 0021332

log tangue o,4iooi32

Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux angles et le côté opposé à l'un d'eux.

149. Première méthode. — Soient a, i et A ou A, B, aies éléments donnés. On calculera d'abord l'inconnue B ou & par