CHAPITRE QUATRIÈME. l8l

la formule

sinB sïab

sinA sina

et Ton pourra obtenir ensuite la valeur correspondante de C ou de c par le moyen des formules de Néper, savoir :

ta ^ p__ CQ^T (A + B)cos| (g — ^) __ cotj (A ~ B) sin| {a — b) °2 "~ cos-j(a-4-^>) "~ sin-J(fl-f-*) '

I ^__ tangjfa + ^>)cos|/^A-f-B) tang-^(a — 6)sinl(A + B) ^2^~~ cos|(A— B) "~ sin|(A — B)

Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que le sinus de Télément inconnu B ou b soîtcompris entre zéro et 15 lorsque cette condition est remplie, il existe pour B ou & deux valeurs supplémentaires Tune de Tautre-, mais, pour que Tune de ces valeurs convienne au problème, il est nécessaire que

les valeurs correspondantes de tan g - C et de tang - c soient

positives, ce qui exige que les différences A — B et a — b soient de même signe. Si cette condition n'est satisfaite par aucune des deux valeurs de B ou de i, le problème n'admet aucune solution-, mais, si elle est satisfaite pour l'une de ces valeurs, il y a nécessairement une solution correspondante. En effet, A — B et a — b étant de même signe, on obtiendra pour C et pour c des valeurs comprises entre zéro et 180 degrés, par le moyen de deux des formules de Néper •, ces valeurs de C et de c seront les mêmes que celles qui seraient données par les deux autres formules de Néper, car celles-ci se déduisent immédiatement des deux premières en faisant usage de la relation

sinB __ s\ab tang^fA -»- B) tangyfa -4- b)

sinA sinfl tang| (A — B) tangy (a — b)

Il suit de là que les valeurs trouvées pour B ou i, pour C et pour c, satisfont aux quatre formules de Néper. Si donc on se propose de résoudre un triangle avec les données a, i, C, problème qui est toujours possible, on retrouvera nécessairement pour les éléments cherchés les valeurs A, B, c.

Les deux cas dont il s'agit ici sont nommés cas douteux des

382 TRAITÉ DB TRIGONOMfiTRIB.

triangles sphériques, parce qu'il peut y avoîr incertitude \ regard de celle des valeurs de B ou de i qui convient au triangle que Ton doit considérer. Mais, dans les applications, cette incertitude disparait toujours par un examen attentif des circonstances du problème à résoudre.

150. Deuxième méthode. — La méthode précédente ne doit être employée que dans le cas où il s'agit de déterminer Télément B ou i avec Tun des deux éléments C et c seulement. Trois logarithmes sont nécessaires pour le calcul de B ou i, et Tespèce de cet élément étant supposée connue, il faut trois nouveaux logarithmes pour obtenir C ou c.

Lorsqu'on a besoin de calculer les trois inconnues, on déterminera rélément B ou i comme précédemment, et si Tespèce de cet élément est connue, on pourra obtenir C et c par les formules (i i) et (12) du n** 123, qui exigent seulement la recherche de quatre logarithmes.

Faisant donc

A + B=:S+i8o«, A — B = D, a H- 6 = 5 -h 180", a — b = (l^ puis

S-f-rf S — d ^^ J + D^ 5 — D

M = tang — y — tang — y — > N = tang / - tang — ^ — »

on aura, par les formules (i i) du n** 123,

-^=±^MN, tang -^- = + y/-,

le radical devant être pris, dans la première formule, avec le signe des quantités M et N.

On peut employer les formules (12) du n** 123 au lieu des formules (ii)*, il n'y a aucune raison de préférer les unes aux autres. Lorsque le problème proposé admet deux solutions, si Ton a employé les formules (11), comme nous venons de le faire, pour le calcul de l'un des triangles, les formules (12) permettront de calculer les éléments du deuxième triangle, sans qu'il y ait besoin, pour cette opération, d'aucun logarithme nouveau.

tang

GUAPITRE QUATRIÈME. l83

Effectivement, désignons par C et c' les valeurs de C et c qui se rapportent au deuxième triangle; il faudra remplacer, dans les formules (12) du n° 123, B par 180° — B, ou b par 1 80° — i, ce qui revient à permuter entre elles les lettres S et D, ou s et rf, suivant que les données du problème sont a, i, A, ou A, B, a. Alors si Ton fait, pour abréger,

M' = tang — -. — - cot — 7 — » N' = cet —= — taniç — y — 9 4 4 4 4

on aura

Lorsque les données sont a, A, A, il faut prendre les signes supérieurs dans l'un et Tautre membre de la première formule, et le signe du radical de la deuxième formule est celui des quantités M' et N'. Si, au contraire, les données sont A, B, /z, il faut prendre les signes inférieurs dans les deux membres de la première formule, et le radierai de la seconde formule doit être pris avec un signe contraire à celui des quantités M' etN'.

Remarque. — On voit que la solution complète du problème, même dans le cas où elle conduit à deux triangles qu'on veut calculer Tun et Tautre, exige seulement l'emploi de sept logarithmes.

ISl. Troisième méthode. — La solution la plus simple du problème qui nous occupe s'obtient par le moyen des trois formules dans chacune desquelles figurent les données avec Tune des inconnues. Cette méthode, qui exige le calcul de deux angles auxiliaires, est celle qu'il convient d'employer dans la plupart des cas.

Supposons que les données soient a, i. A; les formules qui déterminent les inconnues sont

i. ^ sinôsinA SmB nn : , sma

'' cosa = cosô cosc -h sîn b sinccos A,

cotasin^ — cotAsinC = cosôcosC

l84 TRAITÉ DE TRIGONOMETRIE.

Cliacune d*elles permet de calculer directement Tune des inconnues, et elle fournil en môme temps un critérium pour reconnaître si un triangle est possible avec les données Ed elTet, ainsi qu*on Ta vu au n° 149, si Ton peut tirer de la première formule une valeur de B telle, que A — B soit de même signe que a — i, il y aura une solution du problème correspondant à cette valeur de B. Pareillement, si la deuxième formule fournit une valeur de c comprise entre zéro et i8o degrés, il est évident qu'il y aura une solution du problème correspondant à cette valeur, car le triangle formé avec les côtés i, c et Tangle A satisfera aux conditions de Ténoncé. De même,, enfin, si l'on peut tirer de la troisième formule une valeur de C comprise entre zéro et i8o degrés, il y aura nécessairement une solution du problème correspondant à cette valeur, car on pourra toujours construire un triangle avec les éléments a,, i, C.

La première formule du système (i) est calculable par logarithmes^ pour obtenir cet C, on déterminera deux angles auxiliaires cf et <|/ compris entre zéro et i Sa degrés, et tels que Ton ait

/ X / * r cotA

^-i) tangç = tangôcosA, tangij/ =: - —;

les deux dernières formules (i) donneront alors

/ON / \ cos«cos« /^ , \ , .

(3) cos(c — ff)z=z ^— ^, cos(C — i{/) = cotatang6cos4^

Pour que le problème proposé soit possible, il faut que la valeur de sinB soit inférieure à i, et que les valeurs de cos (c — ç), cos (C — ^) soient comprises entre — i et H- i ; il est facile de s'assurer que ces conditions sont exprimées parla seule inégalité

sin^sinA ^

sma

Si cette inégalité est satisfaite, on pourra calculer, par la première formule (i), une valeur M de B comprise entre zéro «t 90 degrés, et, par les formules (3), des valeurs N et P de c — ^ et C — ^^ comprises entre zéro et 180 degrés. Mais on satisfera