CHAPITRE PREMIER

fectivement que les lignes trîgoDométrîques ne changent pas quand x augmente d'un multiple de la circonférence. Les équations précédentes montrent que sinj^^ coso:, sécx et coséco: ne font que changer de signe, quand x augmente de la demi -période tt.

Si, dans les équations précédentes, on change jc en — a:, il vient, en ayant égard aux formules du numéro précédent,

sin (tt — x) r= sina:, ces (tt — x) = — cosjr,

tang(7r— 0;) = — tangar, C0t(7r — a?) =z — cotar,

sec (ft — x) = — sëc:r, cosée (tt — x) ^=z cosécar;

d'où il suit que, si deux arcs sont supplémentaires, leurs sinus et leurs cosécantes sont égaux et de même signe, tandis que leurs cosinus, leurs tangentes, leurs cotangentes et leurs sécantes sont égaux et de signes contraires.

Des deux groupes précédents d'équations on déduit immédiatement, en désignant par h un entier positif ou négatif,

nn[(2^-f- \)v±x'\^zç.sm.x^ ces [(2/- + i)it±x'\=z — cosx,

taag [ki:zt:x) r=±tangx, cet [/i'it±x)z:=.±coix^

8éc[(2X-4- l)lt±x'\=i — séca:, COSéc[(2X- H- l)7rzh.r]=:l4ZCOsécar.

8. De la discussion du n*^ 6 il résulte que le sinus et le cosinus restent compris entre les limites — i et -H i ^ la sécante et la cosécante prennent toutes les valeurs entre + i et -h oo , et entre — i et — oo 5 enfin la tangente et la cotangente prennent toutes les valeurs comprises entre — 00 et -h 00 .

Il est très-important de remarquer que chacune des lignes irigonométriques d'un arc x prend toutes les valeurs qu'elle est susceptible d'acquérir dans la variation indéfinie de x, lorsqu'on ne fait varier x que dans un intervalle de deux quadrants. Ainsi, quand x varie de à H — ? le sinus, la tangente, la cotangente et la cosécante prennent toutes les valeurs dont ces lignes trigonométriques sont susceptibles 5 et si x varie de o à tt, le cosinus, la tangente, la cotangente et la sécante prennent aussi toutes les valeurs dont elles sont susceptibles. Enfin, si Ton n'a égard qu'aux valeurs absolues, les six

lignes trîgonométrîques prennent toutes leurs valeurs quand

Tare varie de o à -> ou de - à tt, ou . . . .

On a souvent besoin, étant donné un arc a:, de trouver Tare

compris entre o et - 5 qui, abstraction faîte des signes, a les

mêmes lignes trîgonométriques que x. Il suffit pour cela de retrancher de x le plus grand multiple positif ou négatif de la demi-circonférence qu'il peut contenir, de manière que le reste positif ou négatif ± a soit en valeur absolue moindre

que -•, Tare a aura, en faisant abstraction des signes, les mêmes

lignes trîgonométriques que x.

Des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique

donnée.

9. Il résulte des développements qui précèdent qu'à chaque valeur de Tare entre — oo et -h oo correspond une valeur unique bien déterminée pour chacune de ses lignes trîgonométriques, tandis qu'à une même valeur donnée de l'une des lignes trîgonométriques correspondent une infinité de valeurs de l'arc. Il est très-important de savoir déterminer tous les arcs qui répondent à une ligne trigonométrique donnée, lorsque Ton connaît l'un de ces arcs \ nous allons donner la solution de cette question. Soient, comme précédemment, A l'origine des arcs -^^y la ligne sur laquelle se portent les sinus et les cosécantes*, xf x celle sur laquelle se portent les cosinus et les sécantes ^ Jz et u'u les lignes sur lesquelles se portent respectivement les tangentes et les co tangentes.

SiKUS ET COSÉCANTES. Soît -h OQ OU OQ' UU SÎnUS

donné {fig^ 4) \ menons par le point Q ou Q' une parallèle à OA \ cette parallèle coupera la circonférence en deux points M et M' ou M'^ et IVP, et il est évident que tout arc qui répond au sinus donné aura l'un de ces deux points pour extrémité \ désignons par a l'un quelconque de ces arcs \ je dis que les arcs a et ff — a auront respectivement pour extrémités M et M*