CHAPITRE PREMIER

de o à — 00 et coséco: croît de -|- i à -h oo . Ainsi Toii a tanglim ( --+-« J =- — oo , séclim ( - 4- «j =— oo,

ît

sin TT = o, cos TT = — I ,

tangTT^ro, cotlim(7r — g):r= — oo »

sec îT = — I , coséc lim (tt — i) = -h oo ,

Si X croit de + t: à H , tango: et cota: redeviennent

positives, mais les quatre antres lignes sont négatives -, sinx décroit de o à — i\ tango: croit de o à 4- oo ^ séco: décroît de — I à — 00 5 cosx croît de — i à o ; cota: décroît de H- oo à o, et coséc X croît de — oo à — i . Ainsi Ton a

et

cot lim (ir -I- i) = -h 00 , coséc lim (tt -i- e) = — oo ,

Stt Stt

sm — = — I, cos — =o,

tang lim I i j = -h oo , cot — = o,

séc lim 1 1 = — 00 , cosec — = — i .

Si X croît de — à 2 tt, cos x et séc x deviennent positives,

mais les quatre autres lignes sont négatives ^ sin x croît de — i à o^ tango: croit de — 00 à o\ sécx décroit de 4- 00 à H- i , coso: croît de o à -f- 1 ^ coto: décroit de o à — 00 , et coséc o: décroît de — i à — 00 . Ainsi Ton a

tang lim ( h e ) = — 00 , sec Iim ( h s | = -h 00 »

et

sin 27r 1=:: o, COS2 7r = -|-I,

tang2 7r = o, cotlim(27r — e) = — 00,

séc 2ff:=:-h I, coséc lim (27r — «) =^ — 00.

Si Ton fait croître 0: de 2 tt à 4 ^5 ou de 4 ^ à 6 tt, ou ... -

les six lignes trigonomë triques reprennent périodiquement les mêmes valeurs et dans le même ordre.

Si X décroît de o à — oo , cos x et séc x prennent les mêmes valeurs que quand x croît de o à 4- oo •, les quatre autres lignes trigonomé triques prennent aussi les mêmes valeurs absolues que quand x croît de o à -f- oo , mais les signes sont changés. On vérifie immédiatement ce fait en remarquant que les extrémités de deux arcs o: et — x égaux et de signes contraires sont situées du même côté àey-y et à des distances égales de xx'. Ainsi Ton a, quel que soit x,

sin ( — x) = — siTiXy cos ( — x) ■=. cosa:,

tang ( — jr) nr — tangx, cot ( — .r ) =: — cot.r, séc ( — x)r=sécx, cosée ( — x)-=: — cosécx.

Et, puisque les lignes trigonomé triques redeviennent les mêmes quand on ajoute à l'arc un nombre quelconque de circonférences, on aura, quel que soit x^ et en désignant par h un entier positif ou négatif quelconque,

sin (2/- TT H- a:) =3 sin X, cos(2/ ir -4- a) = cosx,

tang ( 2 >t7r -f- j?) = tang-r, cot ( 2 / tt -h j: ) == cot^r,

séc ( 2 i^TT -I- X ) = séco:, coséc ( 2 / tt -i- j:) = cosëc x.

7. Soit X un arc quelconque positif ou négatif. Les deux arcs X el X -^-t: sont évidemment terminés aux extrémités d'un même diamètre-, par conséquent leurs sinus, leurs cosi^ nus, leurs sécantes et leurs cosécantes sont égaux et de signes contraires, tandis que leurs tangentes et leurs coiangentes sont égales et de même signe. On a donc

sin(ir+jr)= — sina:, cos(7r -l-a:) = — COSj:,

tang (tt -h x) = tang JT, cet (w 4- ^) = cot.r,

séc ( TT H- ar) r= — sécr, coséc {n -{- x) = — cosécr.

Les fonctions tang x et cot x ne changeant pas quand x augmente de TT, on dit que ces fonctions sont périodiques ; tt est Yamplitude de la période ou simplement la période. Les quatre autres lignes trigonométriques sont également des fonctions périodiques de x, mais leur période est 2 tt; on a vu ef-