CHAPITRE CINQUIÈME. 2O
doDC, sî m est impair, x n'est susceptible que de m valeurs. On réconnaît aisément que les m arcs de chaque formule ont, dans le cas de m pair, leurs sinus égaux deux à deux et de signes contraires.
Le problème dont nous venons de nous occuper donne lien aux mêmes remarques que le précédent ; il suffît de les avoir faites une fois*
166. On verrait de même que, si Ton donne cosa, la détermination de sin — dépend d'une équation du degré 2 w, et que,
si Ton donne sinfl, celle de cos - dépend d'une équation du degré m ou du degré 2 m, suivant que m est impair ou pair. Enfin, quand on donne tanga, la détermination de tang ~ dépend dans tous les cas d'une équation de degré m.
Résolution de l'équation binôme z"* = i .
167. Proposons-nous de trouver les racines de l'équation binôme
Si l'équation proposée admet une racine imaginaire, cette racine aura pour module l'unité (161, Corollaire III) -^ et elle sera en conséquence de la forme cos y -j- i sincp. Pour que cette expression soit eifectivement racine, il faut et il suffit que
l'on ait
cosm^ -{- /sin/w«p r^r 1,
c'est-à-dire
cos/n^ = i, sin/w^=o,
ou
/n© = 2/7r et cp = >
k désignant un entier arbitraire. L'équation (i) est donc satis-
Trig S. i4
faite par toutes les valeurs de z comprises dans la formule
/ . aX-w . 2X7r
(a) « = cos h ' sin •
^ ' mm
Pour que deux valeurs h' et k^ de k correspondent à deux
valeurs égales de z^ il faut et il suflSt (160) que la différence
, aX'îT o.k^rc . 1.11
des arguments ? soit un multiple de air, ou, en
d'autres termes, que k' — k" soit un multiple de m. La formule (i) donne donc m valeurs distinctes de z, et elle n*en donne pas plus de m 5 on obtiendra ces valeurs en donnant à fr, m valeurs consécutives quelconques entre — 00 et + 00 ,
o, 1, 2,. . ., m — I, par exemple.
L'équation (i) a une ou deux racines réelles, suivant que m est impair ou pair^ les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux. Dans tous les cas, on obtient deux racines conjuguées en donnant à k deux valeurs complémentaires à m dans la formule (a)-, car, en changeant k enm — A", celte formule devient
