Supposons, en deuxième lieu, que Ton demande de

trouver sm ~ = :c, connaissant sma = A.

Si dans la deuxième des équations ( i ) du n° 1 63 on change a en

—9 et que i on remplace ensuite sm — » cos — et sina par x.

m * ^ mm r 7

^i — X* et A, on obtiendra, si m est impair, une équation de la forme

/{jc) désignant un polynôme entier et rationnel du degré m dont tous les termes sont de degrés impairs^ on voit que le problème dépend d'une équation de degré m. Mais si m est pair, on obtient une équation de la forme

^/l~xV(^)-:A,

o\if[x) désigne un polynôme de degré m — i dont tous les termes sont de degrés impairs. En élevant au carré les deux membres, il vient

(.-.r')[/WP-A' = 0;

ao8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

on voit que le problème dépend d'une équation de degré 2m. A la vérité, cette équation peut être abaissée au degré m en posant j:* = Ç, parce qu'elle ne contient que des puissances paires de x.

On arrive aux mêmes conséquences par les considérations dont nous avons déjà fait usage. Si Ton désigne par a le plus petit arc positif ayant  pour sinus, et par k un entier indéterminé, les valeurs des x seront les sinus des arcs

mm m m

U suffit de donner à /r, m valeurs consécutives, o, i, 2,. .., m — I par exemple \ car à deux valeurs de k qui diffèrent d'un multiple de m répondent, dans chaque formule, deux arcs qui ont le même sinus. Deux arcs d'une même formule ne peuvent avoir le même sinus tant que a reste indéterminé, car la différence de ces arcs est inférieure à 2 7r, et leur somme, qui dépend de a, ne peut se réduire en général à un nombre impair de demi-circonférences. Voyons si deux arcs, tels que

mm m m

peuvent avoir le même sinus. La différence de ces arcs dépend de «, et elle ne sera pas en général un multiple de la circonférence \ leur somme est égale à

et elle ne peut être un multiple de la demi-circonférence si m est pair : donc, dans ce cas, x est susceptible de 2 m valeurs distinctes. Mais, si m est impair, on peut toujours, quel que soit le nombre k compris entre zéro et ni^ trouver un entier k' compris entre les mêmes limites, et tel qu'on ait

2 / -I- 2 A' -h I = /72 ou 3 m,

<î'est-à-dire

m — \ . 3/72 — I /' = k ou = = X-;