I -I- cet' a: = I -f- . , = -r-r

ou, à cause des relations (7) et (8),

(9) séc* j: = I + tang'ar,

(10) cosëc*x = I -I- cot'x.

Ces deux dernières peuvent être démontrées directement, car les triangles rectangles OTA et OSB donnent

Ôt' = Ôk' = ÔÂ' -h AT , Ôs' = Ôh' = ÔB* + Bsl

relations qui ne sont autres que les équations (9) et (10).

12. Pour établir les formules (i), (2), (3), (4) et (5), nous avons supposé l'extrémité de Tare x située dans le premier quadrant ; mais il est aisé de voir que ces formules sont générales. En effet, quelle que soit la position de l'extrémité M sur la circonférence, il existe (n° 8) un arc compris entre o et

-j et qui, abstraction faite des signes, a les mêmes lignes tri-

gonométriques que j:*, d'où il suit que, si l'on n'a égard qu'aux valeurs absolues des lignes trigonomé triques, les relations (1), (a), (3), (4) et (5) auront toujours lieu. La relation (1), qui ne contient que les carrés de sin^ et de cos x, sera donc vraie dsins tous les cas, et il suffit de constater que les deux membres de chacune des relations (2), (3), (4) et (5) ont toujours le niêiiie signe. Or on a vu :

1° Que cosàr et séc or sont tous deux positifs si l'extrémité de l'arc x est située dans le premier ou dans le quatrième quadrant, et qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas 5

2^ Que sinx et coséc x sont positifs si l'extrémité de Tare x est située dans le premier ou dans le deuxième quadrant, et qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas ^

l6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

3° Que la tangente et la cotangente de x sont positives si rextrémité de cet arc est dans le premier ou dans le troisième quadrant, auquel cas sinoret cosj: sont tous deux positifs ou tous deux négatifs \ tandis que les mêmes lignes trîgonomëtriques sont négatives si Textrémité de Tare x est dans le second ou dans le quatrième quadrant, auquel cas sin^ et cos X ont des signes contraires ,

On conclut de là, et de la règle de la multiplication des quantités positives et négatives, que les deux membres de chacune des relations (2), (3), (4)9 (5) sont toujours de même signe. Par conséquent ces formules subsistent pour toutes les valeurs de x.

13. Des relations (i), (2), (3}, (4), (3) on peut tirer les valeurs de cinq quelconques des six lignes tri gonomé triques en fonction de la sixième j on a, par exemple,

COSJT =dr \j\ — sin^x,

aiu.'T'

lang^ — __^ >

rir V 1 — sm'a:

dz v/ 1 — sin* j:

sec-'»? = : — ,

smar

cosécj?

±:V^i— sin'j?' sin.r

Remarquons toutefois que, lorsque Ton connaît une ligne trigonométrique d'un arc a:, les autres lignes ne^ont pas toutes déterminées complètement 5 ainsi, quand on donne sinx, la valeur de cosécr est déterminée, mais on ne connaît que les valeurs absolues des quatre autres lignes. La raison en est que, parmi les arcs dont le sinus est donné, il y en a dont les cosinus, tangente, cotangente et sécante sont positifs, et d'autres pour lesquels les mêmes lignes sont négatives.

On a souvent besoin de connaître sinj: et cos a: quand on donne tangj:^ supposons que la valeur donnée de tangx ait la

forme fractionnaire — ; on aura n

sin a: m

Bin^x + cos*x = I , = — »

cosj: n