CHAPITRE PREMIER

d'où Ton tire

sm x = - ? cos jr =

pans ces deux formules, le radical \/m* •+- n* doit être pris avec le même signe-, mais ce signe est indéterminé.

L'arc j étant égal à son complément, cos j est égal à sin y ;

on a donc

tang T = ' ;

on trouve ensuite, par ce qui précède,

Sin -7 =: cos 7 = J^ •

Formules relatives à l'addition des arcs,

14. Sinus et cosinus. — Nous nous proposons ici de déterminer le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, connaissant les sinus et les cosinus de ces arcs.

Désignons par a et i deux arcs positifs dont la somme ne

surpasse pas-* Soit {fig* 6) A Torigine des arcs; prenons • Fig. 6.

AJ\1 = a et MN = b\ on peut considérer l'arc b comme ayant ^ pour origine et N pour extrémité, et Ton a

lï^enons NQ perpendiculaire sur le rayon OM-, NR, QI, MP

Trig. S, 2

l8 TRÀirÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

perpendiculaires sur OA, et QH parallèle à OA, on aura

sina = MP, cosa = OP,

sin b = NQ, cosh =z OQ, sin (« + ^») = NR = QI -f- NH, cos {a-hb) = OK = Ol — QH.

Cela posé, les triangles semblables MPO et QIO donnent

mp'"op""om'

d'où Ton tire

^^ MP.OQ . . . OP.OQ .

QI = — ;r— — = sma cosb, 01 = ^,. =: cosfl cosb. OM OM

Les triangles MPO et NQH sont aussi semblables, car ils ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun-, on a donc

NH QH NQ

OP ~mp""om'

d'où l'on tire

^„ OP.NQ . . ^„ MP.NQ . . .

NH = = cosa smo, QH = =-• sma sin 6.

On a, d'après cela,

(i) mï{a -\- b)z=z sma cosb -\- cos a un b y v

(2) cos(a-h ^) = cosacos^ — sinasin^.

15. Ces formules (1) et (2) n'ont été démontrées que dans Thypothèse où a et £ sont deux arcs positifs dont la somme

n'est pas supérieure à - ; mais nous allons prouver qu'elles

s'appliquent à deux arcs quelconques a el b,

1° Les formules (i) e^ (2) subsistent pour toutes les valeurs

de a et de b comprises entre o et —

Cela ayant été établi pour le cas de a + i <^ - ou = -> supposons a -4- i > -•, soient a' et b' les compléments de a et