CHAPITRE CINQUIÈME. 9.'J'J

faut élever le nombre e pour reproduire p (cos co -f- 1 sîn w) . Pour trouvçr un tel logarillime, il faut chercher les valeurs réelles de j: et de j^ susceptibles de satisfaire à l'équation

e''^''^ = p (cos« -4- / sin w),

e'(cosj^ -f- / sinj ) = p (cosw -f- / sinw).

Celte équation tient lieu des deux suivantes :

e* cos r = p cos w, e* sin j = p sinw,

d'oùTon tire

e* 1= p, cosj = cosw, sinj = sin»,

et, par suite,

.r=:::lp, jr =: tù -\- 2 AlCy

k étant un entier indéterminé. Ainsi l'expression

p(cosw -I- /sinw)

a une infinité de logarithmes népériens qui sont tous donnés par la formule

l[p(cosw -h isinw)] := Ip -f- (w -h ik'K)i\ en particulier pour o) = o et pour w = tt, on a

1 (p) — Ip -f-2/'7r/, 1(— p) r=lp -4- (sX'-f- l)7r/;

le signe 1 (p) est ici employé pour désigner l'ensemble de tous les logarithmes de p, tandis que Ip désigne seulement celui de ces logarithmes qui est réel .

Lorsque z désigne une expression imaginaire, les notations

arc sinz, arc cosz, arc tangz, arccotz, . . .

représentent toute expression imaginaire dont le sinus, ou le cosinus, ou la tangente, etc., est égal à z\ ces expressions sont susceptibles d'une infinité de valeurs dans le cas de z imaginaire, comme dans celui de z réel : aussi, pour pouvoir les admettre comme des fonctions de z^ est-il nécessaire d'ajouter quelque chose à leur définition. Nous ne pourrions entrer dans les détails que comporte cette question sans sortir des limites que nous nous sommes fixées, et nous ren-

verrons pour les développements aux ouvrages dans lesquels Cauchy a traité cette matière. Nous nous bornerons ici à indiquer comment on peut déterminer les valeurs des expressions arc sin^, arccossî,..., lorsque z a une valeur imaginaire a-f-iê. Considérons, par exemple, Texpression arccos(a-l-ic)^ si Ton pose