CHAPITRE GINQUlftMB

vcnl le (n H- i )'*'"% ot Ton a

/2-+- 1 (/i H-ij ;/i -f- 2) J

Nous savons que le module d'un produit est égal au produit des modules des facteurs, et que le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties (162) ; donc le module de R„ ne peut être supérieur à la valeur que prend le second membre de la formule précédente, lorsqu'on y remplace z par son module p. Mais cette valeur, qui est une somme d'un nombre limité de termes, est évidemment inférieure au

module du produit de ( i j • • • ( i i par la

somme de la progression géométrique illimitée

somme qui est égale à 1 si l'on suppose /i -f- 1 ^ p.

Le module de R„ étant inférieur au module de l'expression

\ mj \ m J i ,7., . .n \ri -j-i — p/

si l'on désigne par Q une certaine expression imaginaire dont le module est inférieur à l'unité, on aura

^ ' \ mj \ /n y 1 .2. . ./i \« H- I — p/

Supposons maintenant que, le nombre n étant invariable, on fasse croître indéfiniment l'entier w, les formules (i) et (a) donneront, en y faisant /« =. oo ,

^ ' \ mJ I 1.2 1.2. ../2

276 TBAITÊ DE TRIGONOMÉTRIE.

L'équation (3) a lieu, quelque grand que soit /i-, si Ton fait tendre ce nombre vers Tinfini, on voit parla formule (4 ) que 1{„ tendra vers zéro, et la formule (3) donnera

lim c'est-à-dire

un ( iH = iH 1 1 ;

lim IH 1 = e».

Remarque, — Le théorème que nous venons d'établir est susceptible d'un énoncé plus général, que l'on peut présenter comme il suit :

Si m désigne un nombre entier positif, et que z soit une variable imaginaire fonction de /tz, qui tende vers la limite Zq quand m tend vers l'infini, on aura

lim

im ( I -f- — I = ^% pour m =

En effet, les équations (1) et (2) ne cesseront pas d'avoir lieu si z dépend de m. Si l'on y fait /tz = oo , et que l'on désigne par jOo le module de ^o> c'est-à-dire la limite de p, on aura

\ mj I 1.2 i .?.. . .n

lim

, 2 . . . // 72 + I po

9 désignant toujours une expression réelle ou imaginaire dont le module est inférieur à 1 ; et, en faisant tendre n vers Tiniini, on obtiendra

lim ( I -f- — ) — e*\

199. L'analogie qui existe entre les fonctions circulaires directes et les exponentielles subsiste naturellement entre les fonctions circulaires inverses et les logarithmes.

On nomme logarithme népérien d'une expression imaginaire z = p(cos&) -+- i sinci)) Texposant de la puissance à laquelle il