a' H- 6» //i-f-a'H-Sn
,4.a»-t-«?» . / / l H-aM-J^y /
extrayant les racines carrées des deux membres, et remarquant que cosx doit avoir le signe de a, il vient
GBAPIIPRE GINQUIÈfflR. 279
Si Ton fait, jM)ur abréger,
ûTg = arc cos
\ cos.ro sm^o/ les équatious (2) et (3) donneront
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble, et k désignant un entier indéterminé^ il suit de là que Ton a
arc cos ( a 4- /6; = 2 X-tt it (.ro H- /je).
Dans le cas particulier de S = o, les équations (1) donnent immédiatement sina: =0 ou j^ = o. En prenant/ = o, on a cos j: = a, et cette solution ne convient qu'au cas où a est compris entre — i et -h i . En prenant sin j: -= o, on a cosx ==b i , le signe du second membre étant celui de a ^ la première équation (i) donne alors
d'où
eT^^^dzoL-h- v/a^— I, et x = \(±a-^ y/a'— O- On a donc, si a est compris entre — 00 et — i ,
arccosa= (2^ -f- i)7r -hil( — a-4- \/a'— l ), et si a est compris entre -h i et -f- 00 ,
arc cosx =: 2^17 -+- il (a 4- v^a* — i )»
k désignant toujours un nombre entier positif, nul ou négatif.
Du cosinus et du sinus hyperboliques.
200. Les Tables trigonométriques offrent le moyen de calculer cos a: et sinor, quel que soit Tare réel x-^ et si Ton avait d'autres Tables donnant les valeurs de cosio: et de sinio: pour
28o TBAITÊ DE TRIGONOMÉTRIE.
toutes les valeurs réelles de x^ on obtiendrait aisément, par les formules relatives à Taddition des ares, le cosinus et le sînus d'une expression imaginaire quelconque x 4- iy. Des Tablips du genre de celles dont nous venons de parler ont été construites effectivement; mais, voulant éviter l'emploi des imaginaires, leurs auteurs ont cru devoir introduire une notation nouvelle dont nous allons parler.
Lorsque la variable x est réelle, les fonctions cosix et — r~
sont aussi réelles -, la première est dite le cosinus hyperbolique, la seconde le sinus hyperbolique de x. On peut représenter les cosinus hyperboliques et les sinus hyperboliques par les caractéristiques coshyp, sinhyp, placées devant la variable; alors on aura
cos liyp.r = COS l.r,
. , sm i.v smhyp.r z= — ^— »
COS nyp J^ = — ; 9
ou
Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique d'une variable X sont liés entre eux par la relation
coshyp'.r — sinhyp'jT r=: i .
sin hyp.r coshypjr i. i t
Les quotients r^ — et -: — r^ — sont dits lai tans^ente /lypei''
^ COS hyp.r sin hyp.r ^ •^'^
bolique et la cotangente hyperbolique de x^ et Ton a
tang hyp j: = ^^jZ"^ ' ^^^ ^yP*^ = e'-e" '
Enfin, quand on pose coshypx=j^ ou sinhypj:=j^, ou, etc., on écrit aussi j:=: arccoshypj^, ou a: = arcsinhypj^, ou, etc.; on a d'après cela
arc cos hyp.r = 1 (.r dz sjo:"^ — i ), arc sin hyp.r = 1 (.rih ^.r'^ H- i ),
1 I , I -h .r arc tang hyp^c z=r. — 1 •
