CHAPITRE CINQUIÈME. ^Hr

IJ est indispensable d'avoir recours au Calcul dilîerentiel (*) pour justifier les dénominations dont nous venons de faireusage.

Les premières Tables de cosinus et de sinus hyperboliques jîont dues h Lambert; elles ont paru à Berlin en 1770; dans ."es dernières années, Gudermann en a publié d'autres plus étendues et de beaucoup préférables à celles de Lambert.

Développement des fonctions log(i -f- c) et arc tang^ en séries ordonnées, suiv^ant les puissances croissantes de z,

201 . La méthode que nous allons employer pour obtenir les développements en série des fonctions log(i-f-3) et arctangz suppose la formule du binôme pour un exposant fractionnaire. Afin de ne rien laisser à désirer à Tégaicl de la

(*) Si l'on rapporte «n cercle dont le rayon est pris pour unilé à deux axes rectangulaires coordonnés, dont l'un, celui des abscisses, passe par l'origine des arcs, l'abscisse et l'ordonnée d'un point M de la circonférence seront le cosinus et le sinus de l'arc compris entre l'axe des abscisses et le point M, ou, si l'on veut, le cosinus et le sinus du double de l'aire du secteur correspondant à l'arc dont il vient d'être question. Et, de même, si l'on rapporte à ses axes une hyperbole équilatère dont le demi-axe est pris pour unité, l'abscisse et l'ordonnée d'un point M de cette courbe seront le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique du double de l'aire du secteur compris entre l'axe des abscisses et le rayon qui joint le point M au centre de la courbe.

En efFet, le demi-axe de l'hyperbole équilatère étant pris pour unité, l'abscisse C, supposée positive, et l'ordonnée >? satisfont à l'équation |' — >?* = i ; en sorte que i eXri sont nécessairement le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique d'une certaine variable x. On peut donc poser

fiX I <J— ' ^' ^— 'X

? -r: cos hyp j: rr: '- — , vy = siu hyp X = -

\n déduit de là, par les règles du Calcul différentiel

d^ = r,dx^ </ïj = ^dx^ d'où

ldr,--ndi^{V-r{')dx, ou

dx^^din- Yjd^.

On voit par là que x est effectivement le double de l'aire du secteur comprisentre l'axe dos abscisses positives et le rayon qui joint le centre de la courbe au. point dont les coordonnées sont | et 17.

7^8l TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

théorie que nous présentons dans ce Chapitre, nous commencerons par établir ici cette formule.

. FoRMi^LE DU BiivÔME. — Désiguous pam uuc quantité réelle quelconque et par z une quantité réelle ou imaginaire dont le module soit inférieur à i ; la série

n nf/i — i) . n(n — i) (n — 2) .

se réduira à une somme d'un nombre fini de termes si n est un entier positif; dans tout autre cas, elle contiendra un nombre illimité de termes, mais elle sera toujours convergente; car le module de z étant plus petit que i , par hypothèse, le module

du rapport ^ du (/x -h iy**'«' terme de la série au p!'"'

restera inférieur à une fraction moindre que i pour toutes los valeurs de fi supérieures à une certaine limite.

Cela pos(', z étant considéré comme constante, et n comn e variable, désignons par <^{n) la somme de la série; on aura

et, en changeant n en Wi,

o>(//, i r= I H Z H iz'-h ....

Si Ton multiplie f{n) par ?(«i), et que Ton ordonne le produit par rapport à ^, on trouvera, en faisant u.^age de la formule (1) du n° 180, que le coeflScient de z^ est

(/? -h /î, ) ( 72 4- /^l — I ) . . . ( ^2 -4- /2| — P -H I ) . I . 2 . . . ft '

d'où il suit que Ton a

et, par suite,