CHAPITRE GlNQUlÈiMK. 3o

Ci l'on aura tinsuite, par le» formules (2),

^, *»+lO|l+l

t ILS s

^'n+1 Cl ïn désignant toujours des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i .

Mais les sommes S„ et S„+i ne sont autre chose que les restes des séries convergentes

III ITT

ces restes tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment ] on a donc

|„ :=: O, r,„ r=: O, pOUi' /? r r CO .

Par conséquent, si Ton fait tendre n vers Tin fini, les formules (3) deviendront à la limite

,^, I— (-t?)(-l5)(-sfe)-.

et, en remplaçant z par iz, dans ces formules (5), on aura

Si l'on pose z = x -j- Ij^ les premiers membres des formules (6) se réduiront respectivement à

cos r 4- / sin r, - - - cosr -! - / - - — sin >*,

1 2 Si 2 *

d'où il suit que ces expressions sont décomposables en un

3o8 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

produit d'une infinité de facteurs linéaires, et la même chose a lieu en conséquence à l'égard des carrés de leurs modules, carrés qui ont respectivement pour valeurs

Les formules (6) prennent une forme plus simple quand on écrit -^ au lieu de z\ on trouve ainsi

213. Les formules (3), (4), (5) et (6) du n" 189 subsistent quand on remplace Tare réel x par une variable imaginaire z d'un module p quelconque. Si donc on choisit, comme précédemment, un nombre pair n tel que — soit supérieur «à p ^Z^,

et que Ton prenne ensuite pour m un nombre pair supérieur à 72, les formules (5) du numéro cité donneront

' tangz = tari!^ — i ( cot — i- tang— )

I tang' tang'- taim'^ ■ tarii? - |

I L. ^ a/;? ° m " im ^ m J

col2= ( — cot-^ tang— j ^( rot h tans:— |

\ni m ^ m ] m \ m fJiJ

[tang'~ tang'— H

tang^ lang'— tang' ^ ^ tan'^- - 1

CUAPITRB CINQUIÈME. 3oQ

en posant

tang' — tang' —

tang» ^- i tang» — tang» ^^ tang» —

tang' — tang» —

, /?7r ^ Z . (m — 2)ir , Z

tang» - — tang» — tan;;» ^ tang» —

D'après le corollaire du n® 2il, on peut écrire

^nj^n+i» • • • étant des expressions imaginaires dont ks modules sont inférieurs à i. En reproduisant ici sans modification le raisonnement dont nous avons fait usage aun°212, on parvient à mettre ces valeurs de e,„^„ et de >?„,„ sous la forme suivante :

tt' TT»

Sn et Sn^i ayant la même signification qu'au numéro précédent, et X„, >„^t désignant encore des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i.

Le nombre n restant constant, si Ton fait tendre m vers Tinfîni, les formules (1) donneront, en désignant par e„ et yi» les limites de e,„,„ et >?,„,„,

tang. = --, ,- H- . . . -^ -^-..,— + - .„.

COtZ = ; ... - , » — Tlitf

et 1*011 aura toujours par les formules (a)

Q 2 fis

Si maintenant on fait tendre le nombre n vers Tinfinî, les quantités c„ et y]„ tendront vers zéro, et Ton aura, à la limite,

■ Uin^zz

T HZ 1Z

COtZ =

Z TT»— 2» (27r)' — Z»

De ces formules on peut déduire, comme nous Tavons fait au n° 191, dans le cas de z réelle, les deux autres formules