CHAPITRE CINQUIËMB. 3o

gnons par n un nombre pair quelconque, assez grand cepenliant pour que — soit supérieur a f ^/2 , et prenons iii^n -, on pourra écrire

tane' — z z i ^ m

sin z = cos'" — . m tang — | i — -

m m\ 2 TT

tang» -

tans:' •

en posant

taiigr'

t:in^' — m

taiiff'

[n -1- IJTT

tan'^* — m

tang» L - . /

I 'îfll,» -

tiing* —

, /27r tan"^ —

tang--

tang' >-

ijit

D*aprcs le corollaire du leniine établi plus liant, les logalithines népériens des expressions 1 — e„,^„ et 1 — */i„,^„ oui pour valeurs

1 , . - e,„,„; .. ^, |-(7rï:i7 "*~ (77T37 -'-••• ^ (m-i/J '

3o6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

en désignant par 0„, 0„4., , . . . des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i. Or les modules des sommes entre crochets sont inférieurs aux sommes des modules de leurs parties; ils seront donc respectivement inférieurs aux sommes S„^.i et S„ des séries infinies

{n-\- lY ^ (,n-3j»^*"' "~/2'^ («-4-2)» '

dont la convergence a été établie précédemment. On aura, par suite, en désignant par X„ et X„+i des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à i •

Supposons maint(nan^ que, l'entier n restant constant, on

z ^^"^w fasse tendre m vers TinGni: le produit mtanc— ou ::

m se réduira à z pour m = oo ; pareillement les rapports de deux tangentes qui figurent dans les formules (i) auront les mêmes limites que les rapports des arcs correspondants-, enfin le fac-

(z X™ 2 sm' — \ 2/W I ,, . , 1, . ^

I — / se réduira n i unité, comme

dans le cas de z réel, d'après la proposition démontrée au

n° 198 (Remarqué), Si donc on désigne par £„ et y3„ les limites

de e„,^„ et de r„„^„. les formules (i) deviendront, pour //i ^^ oo ,