CHAPITRE GINQUIÈBIB. 3l I

dantes de x consiste dans une simple transformation des formules (5) 5 celles-ci ayant lieu quelle que soit la variable x, les raisonnements du n** i92 s'appliquent sans modification au cas d'une variable imaginaire. Ainsi Ton a les deux fornmles

tangZ=:2'(2'— l)B,— -f-2*(2*— l)B: ?-x— / +...

COtZr= — 2»B, ... — 2»''B„ h...,

qui subsistent, la première pour les valeurs de z dont le module est inférieur à - et la seconde pour les valeurs de z donl

le module est inférieur à tt. En changeant z en - dans la deuxième formule, on obtient, comme au n** 192,

(9) I — - cot - .- B, - -r B, - 5 -/ -f- . . .

Dans ces formules (8) et (9), Bj, B,, . . . désignent, comme précédemment, les nombres de BernouUi. Par le changement de z en iz, les formules (8) deviennent

'* . ''::^-z:=2»(2'~,)B.-''--2*fo*-i)B, Vt+--

^ ' ^ ' \.i. . .in

e* -Jr e-* i ^ z , z^

la formule (9) devient, par le même changement.

(lï) -, .ni-l-l-B, ^i-^—i

3l?. TKAiTË DE TRIGONOMÉTRIE.

mais le premier membre de cette formule (ii) est égal à

H — : on peut donc écrire»

formule dont on fait un fréquent usage en Analyse et qui subsiste pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à 27r.

Enfin l'analyse développée au n° 195 s'applique aussi, sans modification, au cas d'un arc imaginaire, et Ton a

l cosécz -r — f- (2'— 2) B, ; . . . -:- (2}" — 2) ]

f séC3 — I -h C, - -H C, -- 7 -f- . . . -r- C„ -!-...,

C, Cj, . . . désignant ici les mômes nombres qu'au n** 19S. La première des formules (i3) exige que le module de z soit

inférieur à tt, et la seconde que ce module soit inféiieur à -• En changeant z en iz, ces formules deviennent

(2'— 2yB, !-...