CHAPITRE VI

DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES PAR LA VOIE DES SÉRIES ET DES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES DIFFÉRENTIELLES.

Sur la manière d'exprimer les angles dans le calcul.

213. Les méthodes que nous avons exposées dans les Chapitres III et IV, pour la solution des divers problèmes de la Trigonométrie rectiligne ou sphérique, ne laissent rien à désirei* sous le rapport de la rigueur-, mais il est des cas où il peut être plus simple et plus avantageux de substituer des procédés particuliers aux méthodes générales, soit pour abréger les calculs, soit pour obtenir des résultats plus précis et plus indépendants de l'erreur des Tables. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, d'examiner les cas les plus importants; les solutions que nous présenterons reposent toutes sur l'emploi des séries.

216. Les angles sont exprimés dans le calcul, soit par les degrés, minutes et secondes qu'ils contiennent, soit par les longueurs absolues des arcs qui les mesurent, ces arcs étant pris dans le cercle dont le rayon est i. On a souvent besoin, dans les applications de la Trigonométrie, de passer de l'une de ces expressions à l'autre^ nous allons indiquer ici la manière dont on eirectue habituellement celte transformation.

Soient x la longueur d'un arc qui mesure un certain angle, et x' le nombre entier ou fractionnaire de secondes contenues dans cet angle ; il est clair que x est égal à x' fois l'arc de i'', el Ton a

x~j:'X arci";

mais, comme l'arc de i'^ dillère de son sinus d'une quantité

3l4 TRAlTfi DE TRIGONOMÉTRIE.

plus petite qu'une unité du quatorzième ordre décimal, il esl permis dans les applications de substituer ce sinus à Tare, et Ton écrit

X z=:z j:' sin I " ou x' =z --, — siii r'

Supposons, d'après cela, que dans une formule figure un angle x évalué en parties du rayon ] si Ton veut faire que cet angle soit évalué en secondes, il faudra remplacer x par or'sin i^, ou simplement par xsin i'^ en supprimant l'accent. Au contraire, si l'angle x se trouve évalué en secondes et qu'on veuille faire qu*il soit évalué en parties du rayon, il faudra rempla-

,cer X par

smr

Tableau des formules tfuî exf/rir/ient les déi^eloppemenU des fonctions circulaires en séries,

217. Nous rassemblons ici celles des formules établies dans le Chapitre précédent, dont l'usage est le plus fréquent dans les solutions irigonomé triques. On a en premier lieu les six formules suivantes :

sinx

COS.t:

tangj?

cotx

séc^

COSCCr

3jx^ l5l20

qui donnent les lignes trigonométriques de x en fonction de