CHAPITRE SIXIÈME
en portant cette valeur de tang - a dans les équatîons précédentes, et en négligeant partout la quatrième puissance de a, on trouve
/ . sinC . „ . ^ ^cotè
k=:a - — - H- a} sm i smC cosC -: — r
sin o smb
• -i- a} sm^ i" ~ sinC cos^C 7—, ;r smC -: — - ] »
\3 sin^ 3 siub /
(^' ' B^riSo^—C — asinCcotè— -a'sini"sinCcosC(i-r2Cot*ô) — «*sin»i'M ^sinCcos^Ccotè(3 -^ ^cot'b)
— ^sinCcot^(ï 4- 2C0t'^) L
Pour calculer c, nous emploierons Tune des formules de Delambre, savoir :
.1, .. .1 sin|(C-B) sm - ( c — b)=sm-a — — — ; 9
2 ^ 2 COSyA
ou
sm - ( c — b) = sm - « sec - A smC sm
— ces C CCS
On voit que, pour calculer le second membre au même degré d'approximation que A et B, il suffira de conserver les termes en «* dans les deux derniers facteurs. On a
sm - rt = - rt sm r — ttt « sm^ 1 , 22 qo
et les équations (3) donnent ensuite, en négligeant a',
séc - A = i -I- 77 A* sin* i " =1 i -h ^r a^ sin* 1 " . ,, 9 28 8 sm*^
z= - a sinC cot^ -h -7 a^sini" sinCci)sC(iH-2C0t*6),
3l6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
sin = - asin i" smC colo
-f- ja»sinM"8inCcosC(i -f- 2cot»^),
cos = 1 : a' sin* i" sm*C cet* 6.
Au moyen de ces formules, la valeur précédente de
sîn-(c — b) devient
sin - f c — b)^ a sin i" cosC H- -r «' sin* i" sin'C coté
H T«*sin'i"
ib
cosCsin*C(H-4cot*^)-4- :^cosC ;
enfin Ton a
-fc— &)sini'^— sin-(c — b) -f- Trsin*- (c — b),
et Ton trouve de cette manière, en négligeant toujours la quatrième puissance de a,
c = b — a cos C H — û' sin I " sin'C cot b
-f- a^sin^^cosCsin^C
lues formules (3) et (4) sont surtout avantageuses dans le cas où Ton peut négliger la troisième puissance de a.
Résolution d'un triangle sphérique dont les côtés sont très-petits,
226. Legendre a fait connaître un beau théorème par lequel on ramène à la résolution d'un triangle rectiligne celle d'un triangle sphérique dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon de la sphère. Ce théorème, très-intéressant en luimême et fort utile dans les opérations géodésiques, peut être énoncé de la manière suivante :
CIIAPITIIB SIXIÈ.MP.. 327
Etant donné un triangle sphérique dont les côtés sont très -petits par rapport au rayon R de la sphère, si Von construit un triangle rectiligne qui ait les mêmes côtés que ceux du triangle sphérique, les surfaces des deux triangles seront
\é gales, aux termes près du deuxième ordre par rapport à — 9
et les angles du triangle sphérique seront égaux à ceux du ^riangle rectiligne, augmentés du tiers de V excès sphérique, aux termes près du quatrième ordre.
Pour démontrer ce tliéorèrne, désignons par R le rayon de la sphère, et par a, i, c les côtés du triangle sphérique rapportés à une unité de longueur arbitraire; par A, B, C, comme à Tordiiiaire, les angles opposés. Le triangle sphérique semblable au proposé, et qui serait construit sur la sphère de
rayon 1, a pour cotes rr» — 5 —» et 1 on a, par suite, en posant
. b . c sm-sm-
on a d'ailleurs
""r " R GR'^-' "" R - R 6R' ^••
. p — b p — b (p — bf . p — c p — c (p—c)'
^'" R=^ ]S 6RÏ-^-' ""^R-=^r=-6R^-"
""r=R-6RÎ-^'-' '^R=R-6Ri-^--'-
Si Ton 'porte ces valeurs dans les expressions de sin - A et de cos - A, que Ton néglige les termes du quatrième ordre par rapport à — î que Ton remarque enfin qu à ce degré d*approxi-
mation on a
I b'-hc'
= î H TT^rr-»
il viendra
sin
^'"^;^^V bc \' 3R
ou, en extrayant la racine carrée du deuxième facteur, par la formule du binôme,
Considérons maintenant le triangle rectiligne qui a pour côtés a, i, c-, soient A', B', C les angles respectivement opposés à ces côtés et S' la surface du même triangle. On aura
sin - A'= i/ ; >
2 V bc
