CHAPITRE SIXIÈME

et, en appliquant la formule (8) du n** 218, il vient

'2 ^ 1 tang-^ sin I '

tang^yfl sin2C tang^-j^ sina" **"'

A-f-B I ^ I I , sinC

z=2 qo° C -*- tang - a tanc; - o ^, — ■ -

2 ^ 2 ° 2 ^ 2 sinr

I I , sin2C

— tane' - a tang' - b —. — — -f- . . .

° 2 2 sm2

La première série est convergente si a est <^ Z> ^ mais, pour que

la seconde le soit, il faut que Ton ait tang - a tang - A <^ i ou

a-Hi<i8o°.

Pour calculer c, on a cosc = cosacosi -i- sinasin^ cosC, d'où Ton déduit aisément

sin= - c :z= sin' - a cos' - * -j- ces- - a sin* - b

2 sin - ât cos - 6 X cos - « sm - o cosC,

ces' - C = cos- - iï cos-' -b -\- sin^ - « sm* - b

2C0S - a cos - o X siii -a^m-b cosC.

On voit par ces équations que sin - c est le troisième côté d'un triangle rectiligne dont les autres côtés seraient sin -a cos - i,

cos - a sin- è et Tangle compris C. Pareillement, cos -c est le

troisième côté d'un triangle rectiligne dont les autres côtés

seraient cos - a cos - £?, sm - a sin - 6 et 1 angle compris

i8o" — C. Appliquant donc ici le résultat trouvé au n° 221,

ai .

324 TRAITÉ DE TRIGONOUfiTRIB.

m aura

logsin - c rrr log ( cos - rtr sin - ^ j

- M ( tan": - ^ cot - b cosC H — tanff* - a col' - b cos 2 C -h ... 1 ,

\o" COS — C = loff { COS — rt COS — ^ I 2 \ 2 2 /

-1M( tang-rtlang-^cosC tang'-fl tang'- 6cos2C-f ... ],

et, en retranchant ces formules l'une de l'autre, on obtiendrait la valeur de logtang -c.

22o. Deuxième solution. — La solution très-élégante que nous venons de présenter est due à Lagrange^ les formules auxquelles elle conduit ne sont pas sous une forme qui permette d'évaluer facilement les éléments inconnus, lorsque Tuo des côtés donnés est très-petit par rapport à l'autre. Il est nécessaire d'en obtenir d'autres qui procèdent suivant les puissances de ce côté, et c'est à quoi l'on parvient très-aisémenl de la manière suivante.

D'abord, si l'on ajoute les équations (i) et qu'on les retranche ensuite l'une de l'autre, il viendra

sinosini" "2 sin^smi ° 2

2sin3C(i -+- ^coVb) , i Ssinosinr' 2

o « ^ 2sinCcot^> 1 sin2C(n-2C0tV>*) ^i

B = i8o«— C : — - — tang-rt K — r, ^ Ung^-a

sini" ° 2 smi'' ^ 2

2sin3C cot^'fS -f- lœt^b) i

.. r „ ^ ^ tang'-a + ....

3 sm I ' ° 2

Si Ton suppose que le côté a soit très -petit, et que Ton puisse négliger les puissances de a supérieures à la troisième, on aura

tang - a^=^ - a sin i'' -} — 7 a^ sin* i'', 22 24