CHAPITRE SIXIÈME
enfin on a, au même degré d'approximation,
i(A-A') = sini(A-A'>=.^^,
OU
On a, par conséquent, les trois formules
OÙ les angles A, B, . . . sont exprimés par les longueiu's des arcs qui les mesurent dans la circonférence de rayon i . En ajoutant ces équations et en remarquant que A'-j- B'-f- C'= ir, on obtient
Or, si Ton désigne par S la surface du triangle sphérique, par e l'excès sphérique évalué de la même manière que les angles A, B, C, on a
S A-HB-f-C — 7r = Ê=-^;
donc
aux termes près du deuxième ordre en — > et les équations (3) deviennent alors
ce qui achève la démonstration du théorème.
^ sin»C'+ sin^A'— 2 sin'B' losmA smB'smC
sin» A' H- sin'B' — 2 sin'C sin I
33o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
227. On peut, en suivant la môme marche, pousser les approximations aussi loin que Ton veut-, par exemple, si Ton
tient compte des termes du quatrième ordre par rapport à -i
mais qu'on néglige les termes du sixième ordre, on obtiendra sans difliculté
c /e\'. ^sin»B'4-sin»C'— 9.sin»A'
A = A' -f- - -f- - sini'" .—.,-. p> ■ ^/ — »
3 V3/ losmA' sinB smC
C = C'H-^-i-(^jj o.... xosinA'sinB'sinC
en même temps on trouvera, aux termes près du quatrième ordre,
S— ^'T S' sin»A^ -f- sin»B^-f- sin^Cn "^ L'^I^' lasinA'sinB'sinC J'
228. Voici maintenant comment on peut faire usage du théorème de Legendre.
I ° On donne les trois côtés a, i, c du triangle sphérique.
On calculera les angles A', B', C et la surface S' du triangle
S' rectiligne qui a pour côtés a^ b^c\ on en conclura e = -.^^. — -^^
et les formules (5) donneront ensuite A, B, C.
2° On donne les deux côtés a, b et l* angle compris C.
On a S'= - ab sinC: mais, à cause de C= C — TTir;' sinC
ne diffère de sinC que par des termes de Tordre de — » et, par suite, on peut prendre
0/ ï 7 • ^ I rtô sinC
2 2 R» smi"
On calculera e par cette formule, et alors la troisième équation (5) fera connaître CJ -^ on résoudra le triangle rectiligne dans lequel on connaît les éléments a, i et C : on aura ainsi c, A' et B'-, les équations (5) feront connaître ensuite A et B.
