CHAPITRE sixifeaiE. 33i

3° On donne les deux angles A, H et le côté comptais c.

Ona

c* sinA' sinB'

2 sin(A'-l- B')' maïs on peut prendre

r* sinAsinB c^ sinAsinB

1 sinfA + B) 2R' sm(A-hB)sini"'

e étant connu, on aura A' et B' par les formules (5) ; la question sera ramenée alors à résoudre un triangle recti ligne avec les données A', B' et c.

4° On donne les deux côtés a^ b et V angle A.

Ona

S'= -a^>sin(A'^-B');

mais on peut prendre

o/ ^ IL • /4 . T>\ r ^ ^^ sinfA-f-B)

S'— - aÔSin(A-f- B), dou s = ---- ; ;; — -\

1 2R^ smi"

l'angle B n'est pas donné, mais, n'ayant en vue que la détermination de e, on peut le calculer par la formule approchée

sinB=:-sinA. e étant connu, on aura A' par la première

formule (5), et la question sera ramenée à résoudre un triangle rectiligne avec les données a, h et A'^ les formules (5) donneront ensuite B et C.

5° On donne les deux angles El et ^ et le côté a.

On peut calculer e par la formule

g} sinBsin(AH- B) ""ÏR' sinAsini'' "*

on aura ensuite A' et B' par les formules (5), et la question sera ramenée à résoudre un triangle rectiligne avec les données A', B' et a.

229. Le tliéorème de Legendre peut encore être appliqué à la résolution d'un triangle sphérique dans lequel deux côtés

dilïèrcnt peu de 180 degrés, car en prolongeant ces côtés jusqu'à leur nouvelle rencontre on forme un second triangle sphérique dont les côtés sont très-petits. On résoudra ce second triangle où Ton connaîtra toujours trois éléments, et Ton obtiendra ensuite aisément les éléments du premier triangle.

Enfin le même théorème peut aussi être employé pour la résolution d'un triangle sphérique dans lequel deux angles sont très-aigus; car, dans ce cas, le triangle supplémentaire a deux ^ôtés qui diffèrent peu de 180 degrés.

Formules trigonométriques différentielles,

230. La résolution d'un triangle rectiligne ou sphérique ayant été effectuée, on a souvent besoin de connaître les variations que subissent les éléments calculés, lorsque les données éprouvent elles-mêmes certaines variations. Nous supposerons que ces variations des données soient assez petites pour qu'on puisse les traiter comme des différentielles infiniment petites, c'est-à-dire pour qu'on puisse négliger dans le <3alcul leurs produits et leurs puissances; on peut alors, en faisant usage des règles du Calcul diiïérentiel, calculer les variations correspondantes dcjs autres éléments par des formules très-simples, et se dispenser ainsi de reprendre la résolution du triangle avec les données nouvelles.

Triangles rectilignes . — Les formules fondamentales de la Trigonométrie rectiligne sont

logû — log sinA = iogô — iog sinB :r= loge — log sinC, A -hB4-C = i8o".

Supposons que trois des éléments, parmi lesquels se trouve au moins un côté, reçoivent des accroissements très-petits, les autres éléments prendront des accroissements correspondants; nous désignerons tous ces accroissements par la caractéristique J, et alors les équations précédentes donneront

-^ — cotA(ÎA = -- — cotB^B r= - — cotC^C, abc

(ÎA -i- ^B -h ^C = o.