CHAPITRE PREMIER

On retrouve ainsi les propositions connues de la Géométrie relatives au carré et à Tliexagonc régulier. Si le rayon du cercle est représenté par R et que Ton désigne par D et P les côtés du décagone et du pentagone réguliers inscrits, les formules

D __ — I H- v/5 P \/io — 2V^5 R~" 2 ' R~ ï

donneront

La première de ces formules exprime que le carré du côté du pentagone régulier inscrit dans un cercle est égal au carré du côté du décagone régulier inscrit augmenté du carré du rajon.

La seconde formule montre que, pour obtenir le côté du décagone régulier inscrit dans un cercle, il suffit de construire un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit soient égaux, l'un au rayon du cercle. Vautre à la moitié de ce rayon, et de prendre ensuite l'excès de l'hypoténuse de ce triangle rectangle sur le plus petit côté, La même formule

peut s*écrire

et elle exprime alors que D est la moyenne proportionnelle entre R et R — D, c'est-à-dire que le côté du décagone régulier inscrit dans un cercle est égal à la plus grande partie du rayon diuisé en moyenne et extrême raison.

Les formules établies aux n"*33 et suivants conduisent ainsi naturellement aux constructions que Ton emploie en Géométrie pour inscrire dans un cercle un hexagone régulier et un décagone régulier 5 l'inscription du triangle équilatéral et du pentagone régulier s'ensuit évidemment. Quant à celle des polygones réguliers de 1 5 et de 3o côtés, elle peut s'en déduire aussi très-aisément', l'arc sous-tendu par le côté du polygone régulier inscrit de i5 côtés est effectivement égal à la diflé-

rence des arcs sous-tendus par les côtés de Thexagone régulier et du décagone régulier, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque.

Remarque sur les relations entre dwerses lignes trigonométriques .

40. Les formules relatives à Taddition des arcs et toutes celles que nous en avons déduites ont lieu quels que soient les arcs que Ton considère : ce sont, en conséquence, de véritables identités. En outre, ces formules permettent de faire subir diverses transformations aux expressions qui dépendent de plusieurs lignes trigonométriques, et de là résulte la possibilité de former autant de relations identiques que l'on voudra.

Par exemple, nous avons trouvé au n*^ 35

TT 27r I

ces ~ — cos -:- = -f