CHAPITRE PREMIER. 5l
il suit :
2 sm
COS h COS 2C0S - COS - = O.
On voit que la relation (3) est une conséquence de la relation (4), mais elle est beaucoup plus générale que celle-ci j car, d'après la formule (2), elle est vérifiée, non-seulement par les valeurs de a, i, c qui satisfont à l'équation (4), mais encore par celles qui satisfont à la relation
3û b C + TT Zb c û-f-TT
COS • , h ces ;
3c — a — b -\- Tz a -\r b -{- c — n
-f- ces h COS 7 = o.
Ce n'est que dans des cas fort rares qu'une équation algébrique entre des lignes trigonomé triques de plusieurs arcs peut être remplacée par une ou plusieurs relations algébriques entre les arcs eux-mêmes. En terminant ce Chapitre, nous donnerons un exemple dans lequel cette circonstance se présente.
Considérons la relation
f . a . b , c cosa -h cosb ~i- cosc = i 4- 4 sin - sm - sm - ;
.,, -, j a -\- b a — b SI Ion remplace cosa-f-cos^ par 2cos cos ou
2 COS* - cos' 2 sin* - sin* - ^ et cos c par 1 — 2 sin* - > la re-
lation proposée devient
sm — h sin - sm - — cos' - ces' - = o, 2 22/ 22
ou
l . c a — b\ ( , c I sm — h cos sm
cos
OU
enfin
, . a -r- b -^ c — TT . — a -\- b -\- c -^ t: sm 7 sm 7
. a — b-\'C-\-Tz , a -\- b — c H- tt X sm -. sm 7 =1 o,
5a TRAITÉ D£ TRIGONOMÉTRIB.
et, pour que cette relation ait lieu, il faut et il suffit que l'un quelconque des quatre arcs
a -{- b ~\- c — n — tf -4- ft -f- c -f
TC
a — h -^ c -h T a -h b — c -f- ît
soit égal à un multiple titt de la demi-circonférence. La relation proposée équivaut donc au système des quatre relations
a H- ^ -4- ^ = (4/2 4- l)7r, — a -\- b -h c z=z [^n — i)7r, a — b -hcz=(^n — 1)71, a -{- b — c=(^n — i)7r.
QUESTIONS PROPOSÉES
I. Si l'on représente par S, la somme des tangentes de m arcs a, b, c, . . . , ^, par S, la somme des produits deux à deux de ces mêmes tangentes, par S, la somme de leurs produits trois à trois, etc., enfin par S^ le produit de toutes les tangentes, on a la formule générale
iang(a-hb -h c-^,,.-i-A') = '
i-S,-hS,-... '
on demande d'établir cette formule et d'en conclure l'expression de iàugma en fonction de tang^r.
n. Les mômes choses étant posées que dans la question précédente, on a
sin (a-i'b-i-c-h...-^A) = (S, —83-4-85 — ...)cosfl.cosè...cos^, cos(a-hb'hc-^,,.-T-A) = (i — 83,-1-84 — ...)cosfl.cos^...cosX:
on propose d'établir ces formules et d'en conclure les expressions de sinma et de cosma en fonction de sina et de cosa.
m. Former l'équation dont dépend cos ^ quand cosa est donné et celle
dont dépend sin - quand sinû est donné. Résoudre ces deux équations
dans les cas où a a l'une des valeurs o, tt, -, -, -, — , et trouver
dans chacun de ces cas la signification des racines.
IV. La circonférence d'un cercle étant partagée en n parties égales, si des points de division on abaisse des perpendiculaires sur un diamètre
