Considérons maintenant le cas où Ton a
et où, par conséquent, Téquation (2) ne peut plus se ramener à
la forme (3) par la transformation dont nous avons lait usage.
Soient d'abord /? = o et 9 = — i, l'équation (2) devient
les valeiu's de x sont alors les racines cubiques de Tunité \ pour les trouver, remarquons que x' — i est le produit des facteurs x — i et j:* -J- x -h 1 -, en sorte que Tunité a trois racines cubiques dont Tune est égale à i , et dont les deux autres
86 TRAITS DE TRIGONOnfiTRIB.
a et sont les racines de Téquation du second degré
on trouve
en outre, comme on a
aS = I , a' = 1 , 6* =: 1 ,
on conclut que
a = 6» et 6r=a^
en sorte que chacune des deux racines cubiques imaginaires de Tunité est le carré de Tautre.
Revenons maintenant au cas général, et distinguons les deux hypothèses p <^o elp'^o,
1° Soit /? <! o ? posons
X z= \[atangrf -h ôcotep),
en désignant par a et b deux quantités respectivement égales aux racines cubiques imaginaires a et 6 de Tunité ou égales toutes deux à Tunité; en élevant au cube, il vient
«c* =r X^[tang^(p -f- cot*9 -h 3(a tangep -4- b cot^)],
et Ton déduit des deux équations précédentes
(5) x» — 3X^07 — X'(tang»(j> -f-cof^) = o.
D'après la manière dont cette équation (5) est formée, il est évident que ses trois racines sont
(6) X(tangy -f- cot(p), X(atangç-t- Scoty), X(6 tang(p -f-acot^),
et par conséquent Téquation (a) se trouvera résolue si Ton parvient à Tidentifier avec Téquation (5). Tl suffit pour cela de déterminer X et (y de manière que l'on ait
— 3V =/?, — X3(tang»(p H- cot»<ï>) = q;
la première de ces équations donne
CUÀPITRE DEUXIÈME. 87
et il vient ensuite
tang*ç -f-cot'y =
Pour trouver ç, nous emploierons un deuxième arc auxiliaire
ïj>, tel que
tangtl/ = tang»(p;
il vient alors
tang>}; -h cotij/ = -
d*où
sin2>J>=: —
on pourra tirer de cette équation une valeur de tp comprise entre — 45 et 4- 45 degrés 5 car 4/?' + 279* étant > o, par hypothèse, la valeur précédente de sina^j^ est comprise entre — I et 4- 1 5 on trouvera ensuite une valeur de (f également comprise entre — 45 et -J- 45 degrés, au moyen de la formule
tangç= y/tang-j;.
Les arcs y et ^|^ ayant été ainsi calculés, on aura, pour les racines de Téquation ( 2 ), les expressions (6), qui deviennent, v.n remplaçant a et S par leurs valeurs écrites plus haut,
-^(tangy 4-coty),
ou
— (tangç -+- coty)±:- y''— /?(tang(p — coty) ^'— i.
et ; ± J — p cot2 © v^— I .
sm2y sm2(p ▼ -^ T »
On pourra calculer par les Tables, au moyen de ces formules, la racine réelle, ainsi que le coefficient de ^ — 1 dans les racines imaginaires .
2° Soit p ]> G -, posons
x = X (cz tafigç — b cotç),
a el b désignant, comme précédemment, deux quantités égales respectivement aux racines cubiques imaginaires a et 6 de l'unité, ou égales toutes deux à l'unité^ en élevant au cube, il vient
a:* = V[tang'ç — cot'ep — 3 (a tang^ — - ôcotç)], d'où
{7) ar» -f- 3X*.r — X>(tang«<p — cet» = o,
équations dont les racines sont (8) X{tangç — coty), X(atang<j> — Scoty), ^(êtangy — acotf).
Pour que l'équation (2) puisse être identifiée avec l'équation (7), il faut et il suffit que l'on ait
ZV—p, — X=»(tang>(p — cot*(p) = ^; la première de ces équations donne
et il vient ensuite
tang'ç — cot'îp =
Pour trouver ç, nous emploierons un deuxième arc auxiliaire (|/, tel que l'on ait
tang^I* = tang'(p;
il vient alors
tangr!* — COl>J> z=z — 2 COt2-J; d'où
rnt o *fj — -
