ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CIRCULAIRES

Définition du mot fonction.

1. Lorsque deux grandeurs variables sont telles, qu'à chaque valeur de Tune correspond une valeur déterminée de Tautre, on dît que ces grandeurs sont fonctions Tune de Tautre. Par exemple, dans un cercle, la circonférence et la surface sont fonctions du rayon-, et, réciproquement, le rayon est fonction de la circonférence ou de la surface.

La Trigonométrie est fondée sur la théorie de certaines fonctions qui naissent de la considération du cercle, et que l'on nomme, pour cette raison, fonctions circulaires. Nous commencerons par exposer les éléments de cette théorie.

Sur la mesure des longueurs.

2. Soit O {fig- i) un point fixe d'une ligne od x droite ou courbe, et supposons qu'à partir de ce point O on prenne

Fie. «•

sur a/x diverses longueurs OA , OA', OA''', ... 5 ces longueurs, étant rapportées à une même unité, seront représentées par des nombres, et nous donnerons à ces nombres le signe H- ou le signe — , suivant que les longueurs dont ils expriment la

Tris. s. I

mesure seront portées dans un sens ou dans l'autre. Eu d'autres termes, les longueurs portées dans un sens (celui qu'on voudra) seront des quantités positives, les autres seront des quantités négatii^es.

Si, par exemple, on convient que le sens des longueurs positives soit celui de Oo: indiqué par la flèche, et que les points A, A', A''' soient respectivement situés à 7, g, 6 mètres du point O, si en outre on prend le mètre pour unité linéaire, les longueurs OA, OA', OA''' seront respectivement représentées par -+- 7, + 9î — 6. Supposons que a soit la quantité positive ou négative qui représente ainsi une longueur comptée sur a/x à partir du point O -, le nombre d'unités renfermées dans cette longueur sera -H a ou — a, suivant que a sera positive ou négative.

D'après cela, si Ton imagine un point mobile partant de O, et se mouvant tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, les diverses parties de j/o: décrites par le point mobile seront regardées comme positives ou comme négatives, suivant qu'elles auront été décrites par un mouvement dans le sens Ox, ou dans le sens opposé Ox''^ et si l'on désigne par a, b^c^d, ... les quantités positives ou négatives qui mesurent les longueurs décrites successivement par le mobile, par x la quantité qui représente la distance du point O au point où le mobile s'est arrêté, on aura, dans tous les cas,

Des arcs de cercle.

3. Dans l'étude que nous entreprenons des fonctions qui naissent de la considération du cercle, le rayon sera toujours pris pour unité.

Soit O {fig- 2) un cercle dont nous représenterons la circonférence par 2 ir, et le quadrant (quart de circonférence) par —

Soient A un point fixe de la circonférence, M un point mobile partant de A et se mouvant dans le sens de A6 (indiqué par la flèche) que nous adopterons pour les arcs positifs }