CHAPITRE TROISIÈME. I I

On déduit facilement des formules précédemment données

p — a = root -A, p — è = rcot-B, p — c=:rcot-C; 1 2 2

on calculera p — a, /? — h^p — c par ces formules, et Ton en déduira ensuite les côtés a, i, c.

96. Problème VI. — Résoudre un triangle connaissant l'angle C et les sommes c -{- a^ c 4- i obtenues en ajoutant le côté opposé c à chacun des deux autres côtés.

Nous supposerons c 4- a > c -f- i. Les formules ( i ) du n® 73 donnent

/ (c -f- a) 4- (c H- è) __ co.4(A — B) H- 2 sinyC 1 c ~ sin|C

j (c-f-fl)~(cH-^) __ sinl(A--B)

\ c COSyC

d'où

,. sin|(A ~ B) ^ (c^a)^(c^b) ^^^ i ^

' cosj(A — B)H-2sin|C (c -h /i) -h (c H- ô} 2

Cette formule (2) ne renferme que la seule inconnue

-(A — B), et Ton pourra la déterminer par le procédé du

n° 60, en calculant un angle auxiliaire ç compris entre zéro et 90 degrés, au moyen de la formule

(3) tangtp =: 7 (- )— , ( cot- C.

Or, si Ton considère le triangle formé par les côtés c -f- a, c -h i et Tangle compris C, que Ton désigne par A' Tangle opposé au côté c -^-a^ dans ce triangle, et par B' Tangle qui est

opposé au côté c 4- i, la demi-différence - (A' — B') sera précisément égale à 1- angle auxiliaire f , d'après la formule (2) du n° 73 ^ on aura donc

I20 IRAITÉ DB TBIGONOMÊTRIB.

d*où

(4) A'=90»-iC-i-^ B' = 9o»— ^C-(p.

Cela posé, Téquation (2) peut s'écrire comme il suit ;

sin|(A — B) sin i ( A' — B' ) ^

cosi(A — Bj + 2 sin^G ces; (A'— B')' si Ton chasse les dénominateurs, on trouvera simplement

(5) sina: = 2 sin - G sin - (A' — B'),

en posant,

pour

abréger,

on a d'ailleurs

et Pon conclut des deux équations précédentes (6) Ar=A' + x, B = B'— .r.

On calculera Tangle x par la formule (5), après quoi les formules (6) donneront A et B, puisque A' et B' sont connus.

Pour calculer c, on fera usage de la deuxième équation (i)> qui donne

^^^ sin(q,-f-^j

et Ton aura enfin a et i par les formules

Le triangle auxiliaire dont nous avons fait usage est toujours possible, quelles que soient les données c -+- «, c 4- i, C*, il en résulte que l'équation (5) donnera toujours des valeurs réelles de x\ car on peut la mettre sous la forme

(9) sinjî = sin A' — sinB',

et l'on voit que son second membre est compris entre zéro et i. Cette équation a une racine x comprise entre zéro et 90 degrés ;